Deje $x$ ser un número irracional. Demostrar que existen infinitos números racionales $\dfrac pq$ que cumplir con los siguientes

Question

$$\bigg|\,x-\dfrac pq\,\bigg|<\dfrac 1{q^2+q}$$

Mi idea sería la de resolver la desigualdad de la $\frac pq$ y, a continuación, utilizar alguna el principio del palomar. Se esta yendo en la dirección correcta? Cualquier sugerencias sería útil!

Answer 1

La clave aquí es de fracciones continuas. Mirar hacia arriba.

Un número irracional tiene un número infinito de convergents para la continuidad de su fracción. A continuación, responde a cada uno de $|x-\frac{p_n}{q_n}| < \frac1{q_n q_{n+1}} $. Desde $q_{n+1} > q_n $, esto demuestra su declaración.

Answer 2

Aquí está el argumento estándar, tal vez lo que tenía en mente.

SUGERENCIA: Deje $Q\ge 1$ entero y considerar la $Q$ partes fraccionarias $\{a x\}$$1\le a \le Q$. Uno de ellos está más cerca de a $0$ o $1$ por menos de $\frac{1}{Q+1}$, o dos de ellos están más cerca de menos de $\frac{1}{Q+1}$ ( creo que de la $Q$ puntos $\frac{1}{Q+1}$, $\frac{2}{Q+1}$, $\ldots$, $\frac{Q}{Q+1}$ en $[0,1]$). A partir de aquí se concluye que no existe enteros $c$$1 \le d \le Q$, de modo que $|d x - c| < \frac{1}{Q+1}$.