Si dos sucesiones convergen al mismo límite, ¿es suficiente para decir que existe un límite para la secuencia?

Question

En concreto, he demostrado que para una secuencia $x_n$ las sucesiones $x_{2n}$ y $x_{2n-1}$ convergen a L. ¿Es eso suficiente para decir que $x_n$ converge a L?

Answer 1

En su caso particular la secuencia sí converge a $L$ porque existe $M>0$ tal que $n>M\implies |x_{2n} - L|\lt \epsilon$ y existe $N>0$ tal que $n\gt N\implies |x_{2n-1}-L|\lt \epsilon$ . Sea $P$ = max( $M,N$ ) y luego $n\gt P\implies |x_n-L|\lt \epsilon$

En general, el resultado no es cierto. Consideremos una secuencia { $y_n$ } donde $y_i=0$ para impar $i$ y $y_i=1$ para incluso $i$ . Entonces las sucesiones { $y_{2n}$ } y { $y_{4n}$ } ambos convergen a $1$ pero { $y_{n}$ } no lo hace.