Un ejemplo de ultrafiltro

Question

Se trata del teorema 3.5 (pág. 150) del libro "A course in universal algebra". http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra.pdf

Teorema 3.15. Sea $\bf B$ sea un álgebra booleana.

(a) (Piedra) Si $a \in B -\{0\}$ entonces hay un ideal primo $I$ tal que $a \notin I$ .

(b) Si $a \in B-\{1\}$ entonces hay un ultrafiltro $U$ de $\bf B$ con $a\notin U$ .

Me cuesta encontrar un ejemplo no trivial de $a$ , $U$ y $\bf B$ (resp. $a$ , $I$ y $\bf B$ ) que satisface (b) (resp. (a)).

Agradeceré si alguien me da un ejemplo de $a$ , $U$ y $\bf B$ (resp. $a$ , $I$ y $\bf B$ ) que satisface (b) (resp. (a)).

Answer 1

Dejemos que $X$ sea cualquier conjunto infinito, sea $\mathbf B$ sea el álgebra booleana formada por los subconjuntos finitos de $X$ y sus complementos, que $a$ sea cualquier subconjunto finito de $X$ y que $U$ consiste en todos los complementos de subconjuntos finitos de $X$ .

Puedes obtener más ejemplos cambiando "infinito" y "finito" por "incontable" y "contable", o por "de cardinalidad $\geq\kappa$ " y "de cardinalidad $<\kappa$ " para su número cardinal infinito favorito $\kappa$ .