¿Qué es un diferencial exacto?

Question

Mi libro dice "Una expresión diferencial $M(x, y)dx+N(x, y)dy$ es una diferencial exacta en una región $R$ de la $xy$ -si corresponde al diferencial de alguna función $f(x, y)$ definido en $R$ "

Lo que entiendo es que $M(x, y)dx+N(x, y)dy$ se llama diferencial exacta si es igual a una función que es integrable (su integral indefinida existe). ¿Es correcto lo que he entendido?

Answer 1

Que el diferencial $Mdx+Ndy$ es exacta significa que para algunos $f$ , $\frac{\partial f}{\partial x}=M$ y $\frac{\partial f}{\partial y}=N$ es decir $df=Mdx+Ndy$ . En general, si $f:\Bbb R^n\to\Bbb R$ es diferenciable, $df=\sum \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$ . Por otro lado, el diferencial es cerrado si $d(Mdx+Ndy)=0$ es decir, si $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ . Las diferenciales exactas son siempre cerradas. Es un teorema de Poincaré que la inversa se cumple en regiones con forma de estrella en $\Bbb R^n$ o, más generalmente, cuando el espacio es "contraíble a un punto".