Esto es similar a esta pregunta pero estoy interesado en los límites o en una tasa de crecimiento asintótica para $E(n)$ . $E(n)$ es igual a $$\frac{1}{(2\pi)^n}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} ...\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\sum_{k=1}^{n} \cos \theta_k\right)^2+\left(\sum_{k=1}^{n} \sin \theta_k\right)^2} d\theta_1 d\theta_2...d\theta_n$$ que es el valor esperado de la distancia desde el origen hasta el final del último segmento de línea. Cada segmento de línea tiene una longitud $1$ y se conecta de extremo a extremo con un ángulo elegido uniformemente entre el rango $0 < \theta < 2\pi$ .
Para empezar, está claro que $E(1) = 1$ . $E(2) = \frac{4}{\pi} \approx 1.27$ . $$E(3) = \frac{3\cdot2^{1/3}}{16 \pi^4} \Gamma(1/3)^6 + \frac{27 \cdot 2^{2/3}}{4 \pi^4}\Gamma[2/3]^6 \approx 1.57$$
He encontrado la fórmula para $E(3)$ en la entrada de la OEIS A240946 .
Si alguien pudiera proporcionar una tasa de crecimiento asintótica o límites ajustados para $E(n)$ Se agradecería mucho.
Edición: En la página de la OEIS que he enlazado antes, este trabajo de investigación estaba allí. A partir de eso, tengo que $p_n$ el PDF de $n$ segmentos de línea conectados al azar de extremo a extremo, es $$p_n \approx \frac{2x}{n}e^{-\frac{x^{2}}{n}} $$ . Esto significa entonces que $$E(n) = \int_{0}^{\infty} xp_n \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sqrt{n}$$
Del mismo documento de investigación, $$p_n(x) = \int_{0}^{\infty} xtJ_0(xt)J_0^n(t) dt$$ donde $J_v$ es la función de Bessel del primer tipo de orden $v$ . A partir de aquí, obtenemos que $$E(n) = \int_0^n \int_{0}^{\infty} x^2tJ_0(xt)J_0^n(t) dt dx \tag 1$$
Ecuación $(1)$ se puede reescribir tomando $x = u/t$ para conseguir $$E(n) = \int_0^{\infty} \int_{0}^{nt} \frac{u^2}{t^2}J_0(u)J_0^n(t) du dt$$
Si pudiera conseguir más términos en la aproximación de $E(n) \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sqrt{n}$ o tal vez incluso una suma infinita, que sería muy apreciada.
