SUGERENCIA:
Para $\mu(x)$ el Cantor medida apoyada sobre el conjunto de Cantor $\subset [0,1]$ tenemos el cambio de variable de la fórmula:
$$\int f(x)\, d\mu(x) = \frac{1}{2} \int f(1/3 x)\, d\mu(x) + \frac{1}{2} \int f(1/3 x + 2/3)\, d \mu(x)$$
de forma análoga a $\int_0^1 f(x)\, dx =\frac{1}{2} \int_0^1 f(1/2 x)\, d x + \frac{1}{2} \int_0^1 f(1/2 x + 1/2)\, d x $
$\bf{Added:}$
Es fácil ver que el primer momento en $E(X) = \int x \, d \mu(x)= \frac{1}{2}$, y esto se puede obtener fácilmente a partir de la fórmula anterior para $f(x) = x$.
Considere ahora el momento central de generación de función
$$F(t)\colon =E[e^{t(X-\frac{1}{2})}] = \int e^ {t(x-\frac{1}{2})} \, d\mu(x) $$
A partir de la anterior igualdad de $f_t(x) = e^{t(x-\frac{1}{2})}$ tenemos
$$\int e^ {t(x-\frac{1}{2})} \, d\mu(x) = \frac{1}{2}\left( \int e^ {t(\frac{x}{3}-\frac{1}{2})} \, d\mu(x) + \int e^ {t(\frac{x}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2})} \, d\mu(x) \right) $$
Ahora nos damos cuenta de que
\begin{eqnarray}
t\,(\frac{x}{3}-\frac{1}{2})= \frac{t}{3}(x - \frac{1}{2}) - \frac{t}{3}\\
t\,(\frac{x}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2})= \frac{t}{3}(x - \frac{1}{2}) + \frac{t}{3}
\end{eqnarray}
Por lo tanto, tenemos la igualdad
$$F(t) = \frac{e^{\frac{t}{3}} + e^{-\frac{t}{3}}}{2} \cdot F(\frac{t}{3})
$$
$\bf{Added:}$ Reescribir la anterior igualdad como
$$F(3t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2} F(t)$$
Deje $G(t) = \log F(t)$. A partir de lo anterior, podemos obtener
$$G(3 t) - G(t) = \log ( \frac{e^t + e^{-t}}{2})$$
$\bf{Added:}$
Algunos (de momento) cálculos:
$$\int x d \mu(x) = \frac{1}{2} \left( \ \int (\frac{1}{3} x + \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}) d\mu(x) \right )$$
implica $\int x d \mu(x) = \frac{1}{2}$ como se esperaba.
Vamos a aplicar la misma fórmula para $f(x) = (x-\frac{1}{2})^n$. Tenemos
\begin{eqnarray}
\int (x-\frac{1}{2})^n d \mu(x) = \frac{1}{2}\left( \int ( \frac{x}{3} - \frac{1}{2})^n + ( \frac{x}{3} + \frac{2}{3}- \frac{1}{2})^n d\mu(x) \right ) = \\
=\frac{1}{2\cdot 3^n}\left( \int ( x - \frac{1}{2}-1)^n + ( x-\frac{1}{2} + 1)^n d\mu(x) \right )
\end{eqnarray}
que es
$$M_n = \frac{1}{3^n}\sum_{k \ge 0} \binom{n}{2k} M_{n-2k}$$
que es, básicamente, una fórmula de arriba $F(3t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2} F(t)$.
Podemos sacar de aquí $m_2 = \frac{1}{8}$, $m_4 = \frac{7}{320}$, etc. Tenga en cuenta que la fórmula proporcionada en Wikipedia es para el cumulants, no la central momentos, como $\kappa_4 = \frac{1}{40}$.
