Demostrar que la bola unitaria en el espacio $\ell_2$ de secuencias infinitas no está totalmente acotada.

Question

Demostrar que la bola unitaria $B$ en el espacio $\ell_2$ de secuencias infinitas $\{x_n\}$ satisfaciendo la condición: $\sum^\infty_{n=1}x^2_n \leq 1$ no está totalmente acotado.

Para empezar, me gustaría decir que conozco el concepto de lo que es un espacio métrico totalmente acotado $M$ significa. Puedo ver que el conjunto de todos los puntos $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)$ que satisface la condición anterior es un cuerpo convexo (un conjunto convexo no vacío con un interior no vacío). Se deduce que el interior es el conjunto de todos los puntos $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)$ satisfaciendo $\sum^\infty_{n=1}x^2_n < 1$ . Pero, ¿cómo voy a demostrar que la bola no está totalmente acotada en una prueba formal? Se agradece mucho la ayuda/consejos, gracias.

Answer 1

Considere el conjunto $\{v_n : n=1,2,3,\ldots\}$ en $\ell_2$ donde $v_n$ es el punto $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ para lo cual $x_n=1$ y $x_k=0$ para todos $k\ne n.$ ¿Qué pasa si tratas de cubrirlo con bolas de radio $1/10\text{?}$ Cada bola sólo puede cubrir uno de estos puntos. Todos estos puntos están en la frontera de la bola unitaria cerrada. Por lo tanto, la bola unitaria cerrada no puede ser cubierta sólo por un número finito de bolas abiertas de radio $1/10.$