Una introducción a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana muy adecuada para personas familiarizadas con la optimización convexa

Question

Soy ingeniero eléctrico y estoy bastante familiarizado con la optimización a nivel de libros como Boyd & Vandenberghe y Bertsimas Optimización lineal . Estoy intentando familiarizarme con los conceptos básicos de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana. Está claro que hay mucho solapamiento aquí y que estos problemas están íntimamente relacionados, pero me cuesta conectar los puntos.

Un problema clave que he encontrado es que muchas cosas tienen unos 100 nombres diferentes, por ejemplo, "conjugado convexo = transformada de Fenchel = transformada de Legendre, etc." y, por supuesto, la terminología utilizada en física no suele ser la misma que la de la literatura de optimización con la que estoy familiarizado.

¿Alguien que conozca tanto la optimización como la mecánica tiene una buena fuente que unifique bien las cosas? Estoy pensando que tal vez hay algunas cosas en la literatura de los controles más antiguos.

Answer 1

Puede que merezca la pena echar un vistazo al principio de mínima restricción de Gauss (GPoLC). Hay muy poco material disponible sobre él, pero creo que merece la pena el esfuerzo de hacerse con él. Básicamente dice que la aceleración que experimenta un sistema es tal que la norma euclidiana de la diferencia entre la aceleración que experimenta realmente y la aceleración que experimentaría sin ninguna restricción es mínima. Consideremos, por ejemplo, el eslabón de un brazo robótico. La aceleración "sin restricciones" sería la que experimentaría si se soltara de cualquier eslabón y sólo se considerara la gravedad, la resistencia, etc., pero no las fuerzas de reacción que se producen en las articulaciones.

Recientemente he querido implementar una simulación de cuerpo rígido de un robot bípedo con restricciones de contacto. Estaba muy confundido por una gran cantidad de materiales que encontré sobre la mecánica lagrangiana y que siempre se derivan de una manera ligeramente diferente y fue GPoLC que vino al rescate.

Creo que el poder de GPoLC es que convierte el problema de encontrar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico en un problema de optimización con objetivo cuadrático. Si se añaden al problema, por ejemplo, restricciones holonómicas invariables en el tiempo, no es tan difícil ver que el conjunto factible será convexo y, por tanto, el propio problema será convexo, lo que permite utilizar toda la potencia de los resultados de optimización convexa. Las fuerzas de restricción, por ejemplo, resultarán ser multiplicadores de Lagrange en su problema.