Si $\int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}x$ $\exists x \in [a,b]$ $f(x) = g(x).$

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Tome $f, g:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $f$ $g$ son continuas. Si $$\int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}x,$$

entonces existe algún $c \in [a,b]$ tal que $f(c) = g(c).$

Aquí está mi prueba. Yo daría la bienvenida a cualquier comentario acerca de la exactitud y claridad.

Corriente De Prueba

Suponga que no existe tal $c$. Hay entonces tres posibilidades. En primer lugar, es posible que $f(x) > g(x)$ $\forall$ $x \in [a,b]$. Sin embargo, esto no puede ser, ya que entonces tendríamos $$\int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x > \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}.x$$

Del mismo modo, no podemos tener $g(x) > f(x)$ $\forall$ $x \in [a,b]$, desde entonces $$\int_a^b f(x) \ \mathrm{d}x < \int_a^b g(x) \ \mathrm{d}x.$$ Por lo tanto, existe cierta $x \in [a,b]$ tal que $f(x) > g(x)$ y algunos $y \neq x$ tal que $g(y) > f(y).$ Suponer sin pérdida de generalidad que $x < y.$ Considere la posibilidad de una nueva función de $h:[a,b] \to \mathbb{R}$ definido por $$h(x) = f(x) - g(x).$$ Claramente, $h$ es continua, ya que la diferencia de dos funciones continuas. A partir de lo anterior, tenemos que $h(x) > 0$ $h(y) < 0.$ Aplicar el Teorema del Valor Intermedio para $h$ en el intervalo de $(x,y).$ por Lo tanto, existe cierta $c \in (x, y)$ tal que $f(c) = 0$. Desde $(x, y) \subset [a, b]$, hemos encontrado un elemento de $[a,b]$ tal que $h(c) = 0 \implies f(x) = g(x).$

Answer 1

Mientras que la prueba es correcta, hay maneras que usted podría simplificar. Por ejemplo, como se señaló en los comentarios, se podría aplicar el teorema de Rolle a $\int_a^x f(x') - g(x') dx'$ ya que usted sabe que va a ser cero en los extremos de $a$$b$.

Answer 2

Vamos

$$\begin{align*} &f(x)=0, x\in [0,1]\\\\ &g(x)=\begin{cases}-1,&x\in\left[0,\frac12\right]\\\\1,&x\in\left(\frac12,1\right]\;.\end{casos} \end{align*}$$

A continuación, $$\int_0^1f(x)dx=\int_0^1g(x)dx$ $ y $f(x)\neq g(x)$, para cada $x\in [0,1]$.

Answer 3

Se puede demostrar: ∫{a}^{b}f(x)dx=∫{a}^{b}g(x)dx y f(x)≥g(x), para todo x∈[a,b], entonces existe c∈[a,b] tal que f(c)=g(c).