Fibrados principales, representaciones y fibrados vectoriales

Question

¿Cuál es la relación exacta entre paquetes principales, representaciones y paquetes vectoriales?

Answer 1

A partir de un paquete principal $G$ $E\to B$ y una representación $V$ de $G$, puede construir un paquete vectorial $E\times_GV\to B$. Un paquete vectorial $\mathcal E$ con fibra $V$, por otro lado, le brinda un paquete principal $GL(V)$ al tomar el paquete $F(\mathcal E)$ de marcos en $\mathcal E$, y puede reconstruir $\mathcal E$ a partir de $F(\mathcal E)$ y la representación tautológica de $GL(V)$ en $V$.

Answer 2

Solo para ser pedante, estas nociones son para grupos y representaciones de dimensión finita . En infinitas dimensiones (ya sea de grupo o de representación) hay que tener un poco más de cuidado, mira esta pregunta .

Answer 3

Para agregar un pequeño punto sobre lo contrario a las respuestas anteriores para grupos discretos: un paquete vectorial n-dimensional en X equipado con una conexión plana es lo mismo que una representación del grupoide fundamental de X en GL _n . En este caso, la monodromía alrededor de los caminos es una invariante de la clase de camino de homotopía, por lo que cualquier clase de camino de homotopía produce un isomorfismo entre los espacios vectoriales sobre los puntos inicial y final.