Integración paramétrica de sigma por trigonometría

Question

¿Cómo puedo integrar $$ \int_{ -\infty}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{2}x^2}}{\sqrt{2 \pi}}cos (ax) \space dx$$ donde $a \in \mathbb{R}$ ?

Intenté diferenciar con repsecto a $a$ pero no pudo avanzar mucho. Wolframalpha dice que el resultado es $e^{- \frac {a^2}{2}}$ pero no puedo ver cómo se deriva. ¿Puede ayudarme?

Answer 1

Sugerencia . Una ruta dentro del análisis real. Se puede establecer $$ f(a):=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\frac12x^2}}{\sqrt{2 \pi}}\cos (ax) \space dx,\quad a \in \mathbb{R}. $$ Entonces se permite diferenciar bajo el signo de la integral y se puede realizar una integración por partes, obteniendo $$ \begin{align} f'(a)&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\frac12x^2}}{\sqrt{2 \pi}}(-x \sin (ax)) \; dx \\\\&=\left[ \frac{e^{-\frac12x^2}}{\sqrt{2 \pi}}\cdot \sin (ax)\right]_{-\infty}^{\infty}-a\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\frac12x^2}}{\sqrt{2 \pi}}\cdot \cos(ax) \; dx \\\\&=\color{red}{0}-af(a) \tag1 \end{align} $$ La ecuación diferencial ordinaria anterior puede resolverse, $$ \frac{f'(a)}{f(a)}=-a,\qquad \log\left|\frac{f(a)}{C}\right|=-a^2/2, \qquad f(a)=C\cdot e^{-a^2/2}, $$ entonces utilizando el resultado gaussiano se encuentra que $C=1$ y obtenemos

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\frac12x^2}}{\sqrt{2 \pi}}\cos (ax) \; dx=e^{-a^2/2},\quad a \in \mathbb{R}. $$