Cómo encontrar el límite superior de esta serie

Question

Me encontré con esta serie en un libro y el autor dice el límite superior y se comprueba en las condiciones, pero no pude encontrar la conexión o la razón si se puede, que si no se me presentó con esta información, que podría haber utilizado para encontrar el límite superior a mí mismo.

Para $s>1$ la suma de $2^{p}-1$ términos de la serie es menor que $\dfrac {1} {1^{s-1}}+\dfrac {1} {2^{s-1}}+\dfrac {1} {4^{s-1}}+\dfrac {1} {8^{s-1}}+\ldots +\dfrac {1} {2^{\left( p-1\right) \left( s-1\right) }} < \dfrac {1} {1-2^{1-s}}$

Se agradecerá cualquier pista o indicio.

Answer 1

Utilice el hecho de que si $|x|<1$ entonces $\frac{1}{1-x}$ tiene la expansión en serie de la potencia $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\cdots .$$

O, en un lenguaje menos rebuscado, si $|x|<1$ entonces la serie geométrica infinita $1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$ tiene suma $\frac{1}{1-x}$ . En su ejemplo particular, $x=\frac{1}{2^{s-1}}$ . Desde $s>1$ tenemos $|x|<1$ .

Más explícitamente, para este valor de $x$ el lado izquierdo es simplemente $$1+x+x^2+\cdots+x^{p-1}.$$ Esta serie geométrica finita tiene suma $$1+x+x^2+\cdots+x^{p-1}=\frac{1-x^p}{1-x}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^p}{1-x}.$$ Esto dice que la suma del lado izquierdo es menor que $\frac{1}{1-x}$ . Incluso dice que por cuánto es menor, a saber $\frac{x^p}{1-x}$ .