¿Cuál es el grupo de Galois de la división de campo de la $X^8-3$$\mathbb{Q}$?

Question

He calculado la división de campo de la $x^8-3$$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}(\sqrt[8]{3},\zeta_8)=\mathbb{Q}(\sqrt[8]{3},\sqrt{2},i)$, que es de grado 32 $\mathbb{Q}$.

La posible automorfismos son los mapas de fijación $\mathbb{Q}$ de forma $$ \sqrt[8]{3}\mapsto \zeta_8^i\sqrt[8]{3}\quad (0\leq i\leq 7),\qquad \sqrt{2}\mapsto\pm\sqrt{2},\qquad i\mapsto\pm yo. $$ Hay 32 automorfismos, y por lo tanto estos son todos los automorfismos. Así que tengo una descripción explícita de los automorfismos en el grupo de Galois $G$, pero si yo quería realmente decir lo $G$ es isomorfo a, ¿cómo puedo encontrar eso? Miré en groupprops subwiki, y parece ser que hay 51 grupos de orden 32 hasta isomorfismo, al menos.

He hecho algunas pequeñas observaciones, como que hay 7 elementos de orden 2, pero no estoy seguro de cómo clasificar el grupo de Galois.

También he notado que los mapas de fijación $\sqrt[8]{3}$ se forma un subgrupo isomorfo a la Klein-4 grupo, y los mapas de fijación $\sqrt{2}$ $i$ se forma un subgrupo cíclico de orden 8. ¿Esta estrecha hacia abajo?

Answer 1

Su descripción de la $G$ está perfectamente bien como está.

Pero tal vez una representación de $G$$GL_2(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})$, estaría más a su gusto : si $\sigma \in G$ satisface $\sigma(\zeta_8) = \zeta_8^a$$\sigma(\sqrt[8]{3}) = \zeta_8^b \sqrt[8]{3}$, está representado por la matriz $ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se puede observar que los automorfismos de fijación $\sqrt[8]{3}$ son los con $b=0$, y la forma de una (no normal) subgrupo $H$ isomorfo a $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^*$. Los automorfismos de fijación $\zeta_8$ son los con $a=1$, y forman un subgrupo normal $N$ isomorfo a $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, e $G$ también puede ser visto como un semi-producto directo de los dos grupos :

En la secuencia exacta $0 \rightarrow N = Gal_{\mathbb{Q}(\zeta_8)}(\mathbb{Q}(\zeta_8,\sqrt[8]{3})) \rightarrow G = Gal_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\zeta_8,\sqrt[8]{3})) \rightarrow G/N = Gal_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\zeta_8)) \rightarrow 0$

hay una sección de $s : Gal_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\zeta_8)) \rightarrow H \subset Gal_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\zeta_8,\sqrt[8]{3})) $, definido simplemente por la ampliación de una automorphism $\sigma$$s(\sigma)(\sqrt[8]{3}) = \sqrt[8]{3}$.

$Gal_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}(\zeta_8))$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^*$, por lo que la canónica surjection $f$ es simplemente recoger $f(\sigma) = a$, y la sección de $s : (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* \rightarrow H$, es $s(a) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Esto le da un isomorfismo entre el $G/N$ $H$ y muestra que $G$ es el semidirect producto de $H$ actuando en $N$