Pregunta sobre los grupos de orden $pq$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $pq$ , $p>q$ y $p$ , $q$ son primos. Entonces demuestre que

1. Si $q\mid p-1$ entonces existe un grupo no abeliano de orden $pq$ .
2. Dos grupos no abelianos de orden cualquiera $pq$ son isomorfas.

He demostrado que si $q\not\mid p-1$ entonces $G$ es cíclico . Pero como probar esto no tengo ni idea. Cualquier tipo de pista es muy bienvenida. Este problema está en el libro de Herstein, página 75.

Answer 1

Si $q\mid p-1$ entonces $\rm{Aut}(C_p)$ tiene un único subgrupo de orden $q$ y la incrustación del mapa $C_q$ en $\rm{Aut}(C_p)$ da un producto semidirecto, que no es abeliano (fácil de comprobar).

Por otro lado, si $G$ es algún otro grupo no abeliano de orden $pq$ entonces es un ejercicio fácil que $G$ tiene un subgrupo normal de orden $p$ y como $G$ también tiene un subgrupo de orden $q$ debe ser un producto semidirecto. Pero como el subgrupo de orden $q$ en $\rm{Aut}(C_p)$ era única, la única posibilidad es la que ya hemos contabilizado.