¿Existe una fórmula para los coeficientes de un vector dado escrita en términos de la base?

Question

Dado que $\vec{u}_1,.., \vec{u}_N$ son la base de $\mathbb{R}^N$ , de manera que podemos escribir cualquier vector $\vec{v}\in\mathbb{R}^n$ como $$\vec{v} = \sum_{n=1}^Nc_n\vec{u}_n$$ ¿Existe una fórmula para encontrar los coeficientes? En un viejo pdf encontré lo siguiente $$c_n = \frac{1}{|\vec{u}_n|^2}\vec{v}\cdot\vec{u_n}$$ Sin embargo es muy confuso y no entiendo si es una errata, si está hablando de otra cosa, o si esto es correcto pero simplemente nunca vi esta fórmula en Álgebra Lineal.

Y si esto es cierto, ¿cómo puedo derivarlo?

Mi intento

Escribir $\vec{v} = (v_1,..,v_n)^T$ y $\vec{c}= (c_1,.., c_n)^T$ y $U = (\vec{u}_1,..,\vec{u}_n)^T$ entonces tenemos $$\vec{v} = \vec{c}^T U$$ y por lo tanto $\vec{v}^T = U^T\vec{c}$ de modo que los coeficientes se pueden encontrar como $$\vec{c} = (U^T)^{-1}\vec{v}^T$$

Así que una vez que tenemos la inversa de esa matriz, podemos calcularlas. Sin embargo no sabría como proceder.

Solución

Gracias a todos los que han respondido. Esta fórmula sólo es válida si las bases son ortogonales. Esto se debe a que empezamos con $$\vec{v} = c_1\vec{u}_1+..+c_n\vec{u}_n$$ Entonces, digamos que queremos encontrar el coeficiente $c_1$ entonces podemos multiplicar ambos lados por el vector base correspondiente: $$\vec{u}_1^T \cdot \vec{v} = c_1\vec{u}_1^T\vec{u}_1 + 0+..+0$$ y por lo tanto $$c_1 = \frac{\vec{u}_1^T\cdot \vec{v}}{||\vec{u}_1||_2^2}$$

Answer 1

Esta fórmula sólo es válida si el $u_n$ son ortogonales. En ese caso, los coeficientes de $v$ vienen dadas por el producto escalar de $v$ con la base normalizada. Este es un teorema básico del álgebra lineal. En el caso general la fórmula no es cierta.

Answer 2

Parece que están proyectando su vector sobre el vector base.

{Se pueden encontrar algunas ecuaciones para las proyecciones aquí https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/dotprod/dotprod.html }