Pregunta sobre el Teorema Fundamental del Cálculo

Question

En mi respuesta a esta pregunta ( Cuando evaluamos una integral indefinida de una variable, ¿qué área se obtiene? ) He escrito lo siguiente:

Ahora, si dividimos ambos lados por $h$ obtenemos lo siguiente: $$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x)}{2}$$ pero podemos ver que la expresión del lado izquierdo es la definición de la derivada, $F'(x)$ , para $F(x)$ nuestra función de acumulador de áreas. Así que podemos escribir $$F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)$$

Mi pregunta es, en el lado derecho de la igualdad básicamente decimos que $$\lim_{h\to0}f(x+h)=f(x)$$ Sin embargo, por qué no decimos lo mismo también en el lado izquierdo; es decir, por qué no escribimos (en lugar de $F'(x)$ ) $$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{F(x)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=\infty$$ es decir, por qué la parte izquierda no carece de sentido si estamos dispuestos a escribir en la parte derecha $\lim_{h\to0}f(x+h)=f(x)$ ?

Gracias por su ayuda. Si mi derivación del Teorema Fundamental del Cálculo está equivocada por favor díganmelo y ayúdenme a corregirlo :)

Answer 1

Como se nota en los comentarios de muchos, hay dos cosas en cuestión aquí.

En primer lugar, no se puede tomar una expresión compleja y evaluar sólo el límite a una parte de ella, y luego al resto. Si tienes algo como $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{x},$$ el límite es $1$ (ya que la función toma el valor $1$ en cada $x\neq 0$ ); pero no se puede primero evaluar el límite del numerador (que es $0$ ), y luego el límite de la expresión resultante para afirmar que el límite es $0$ .

Así que no se puede hacer primero el límite del numerador de $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$ y entonces hacer la expresión. Tienes que hacer la expresión completa. Es decir: no puedes calcular el límite por partes dentro de una expresión: debes calcular el límite del conjunto, o de todas sus partes, al mismo tiempo.

En segundo lugar, existe una "ley del límite" (en realidad un teorema para evaluar los límites) que dice:

Teorema. Dejemos que $g(x)$ y $h(x)$ sea una función, y supongamos que $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$ y $\lim\limits_{x\to a}h(x) = M$ ambos existen. Entonces:

1. $\lim\limits_{x\to a}\bigl(g(x)+h(x)\bigr) = L+M$ ;
2. $\lim\limits_{x\to a}g(x)h(x) = LM$ ;
3. Si $M\neq 0$ entonces $\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{L}{M}$ .

Esto puede establecerse de forma bastante sencilla utilizando el $\epsilon$ - $\delta$ definición de un límite, aunque hay que hacer un poco de trabajo técnico en 3 para asegurarse de que $h(x)$ está acotado fuera de $0$ . Estas leyes límite son a veces abreviadas como

El límite de una suma es la suma de los límites (si ambos existen); el límite del producto es el producto de los límites (si ambos existen); el límite de un cociente es el cociente de los límites si el límite del denominador no es $0$ (y ambos existen).

Podemos utilizar estas "leyes límite" en el lado derecho: el denominador es constante y tiene límite $2\neq 0$ Así que $$\lim{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{2} = \frac{\lim\limits{h\to 0}\bigl( f(x+h)+f(x)\bigr)}{\lim_{h\to 0}2} = \frac{f(x)+f(x)}{2} = f(x),$$ utilizando la ley del límite y el hecho de que $f(x)$ se supone que es continua en todo el intervalo, por lo que $\lim\limits_{h\to 0}f(x+h) = f(x)$ de hecho, utilizamos la ley del límite 1 para calcular el límite del numerador.

No se puede invocar esta ley/proceso en el lado izquierdo, porque allí el denominador tiene límite $\lim\limits_{h\to 0}h = 0$ . Así que no puedes tomar los límites del numerador y del denominador por separado. Tienes que tratar la expresión completa de alguna manera (obviamente hay formas de hacerlo, o no se podría calcular ninguna derivada; pero no puedes usar las leyes de límite utilizadas en el lado derecho).

(A modo de apunte, hay que tener en cuenta que mientras $\lim\limits_{h\to 0}f(x+h) = f(x)$ porque estamos asumiendo que $f$ es continua, no hemos demostrado que $F$ es continua, por lo que tampoco se puede justificar la afirmación de que $\lim\limits_{h\to 0}F(x+h)=F(x)$ a menos que se demuestre la continuidad).