Me gusta $V^{\otimes n} \curvearrowleft S_n$ desde la derecha por lo que tenemos $(v_1\otimes\cdots\otimes v_n)\sigma= v_{\sigma(1)}\otimes\cdots v_{\sigma(n)}$ .
En el $GL(V)$ -Módulo $V^{\otimes n}\otimes_{S_n}\mathbb{C}^n$ cualquier tensor puro
$$ (v_1\otimes\cdots\otimes v_n)\otimes(c_1,\cdots,c_n) $$
utilizando la base estándar $\{e_1,\cdots,e_n\}$ de $\mathbb{C}^n$ puede reescribirse como
$$\begin{array}{l} \displaystyle =(v_1\otimes\cdots\otimes v_n) \otimes \left(\sum_{i=1}^n c_ie_i\right) \\[5pt] \displaystyle =\sum_{i=1}^n c_i \, (v_1\otimes\cdots\otimes v_n)\otimes e_i \\[5pt] \displaystyle =\sum_{i=1}^n c_i \, (v_1\otimes\cdots\otimes v_n)\otimes \sigma_i e_n \\[5pt] \displaystyle =\sum_{i=1}^n c_i \, (v_1\otimes\cdots\otimes v_n)\sigma_i\otimes e_n \\[5pt] \displaystyle =\sum_{i=1}^n c_i \, (v_{\sigma_{\large i}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma_{\large i}(n)})\otimes e_n \\[5pt] \displaystyle = \left(\sum_{i=1}^n c_i \, v_{\sigma_{\large i}(1)}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma_{\large i}(n)} \right)\otimes e_n \end{array} $$
donde $\sigma_1,\cdots,\sigma_n\in S_n$ son todas las permutaciones para las que $\sigma_i e_n=e_i$ .
Por lo tanto, el morfismo de $GL(V)$ -módulos $V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}\otimes_{S_n}\mathbb{C}^n$ dado por $x\mapsto x\otimes e_n$ es un mapa onto, donde $x\in V^{\otimes n}$ . El núcleo debe estar compuesto por diferencias $v-\sigma v$ donde $\sigma\in S_n$ fija $e_n$ por lo que heurísticamente deberíamos esperar que el módulo sea las coinvariantes,
$$ V^{\otimes n}\otimes_{S_n}\mathbb{C}^n \,\cong\, V^{\otimes n}/S_{n-1} \,\cong\, \mathrm{Sym}^{n-1}(V)\otimes V $$
que tiene la dimensión $\displaystyle\binom{d+n-1}{n}d$ .
