¿Álgebra de convolución como bialgebra?

Question

1. Contexto
   Dejemos que $(A, \mu, \eta, \Delta, \epsilon)$ sea una bialgebra sobre un campo $k$ . Consideremos el espacio vectorial $\mathrm{End}(A)$ en $k$ .
   Definir el producto de convolución $$*: \mathrm{End}(A)\otimes \mathrm{End}(A) \rightarrow \mathrm{End}(A); \qquad f \otimes g \mapsto \mu \circ (f \otimes g)\circ \Delta.$$
   Definir el mapa de unidades $$\overline \eta: k \rightarrow \mathrm{End}(A); \qquad 1 \mapsto \eta \circ \epsilon.$$ Entonces $(\mathrm{End}(A), *, \overline \eta)$ se convierte en un álgebra asociativa y unital.

2. Preguntas

   • Puede $(\mathrm{End}(A), *, \overline \eta)$ ¿se puede convertir en un bialgebra?
   • ¿Se convierte así en un álgebra de Hopf?
   • ¿Existe una forma canónica?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero es demasiado larga para ser un comentario.

Permítame responder a sus preguntas en el caso de las dimensiones finitas .

(1) Supongamos que $A$ es de dimensión finita como espacio vectorial. Entonces, como espacios vectoriales, $$\begin{array}{ccc} \mathrm{End}(A) & \cong & A \otimes A^* \\ f & \to & \sum_if(e_i) \otimes e_i^* \\ \left[b\mapsto a\varphi(b)\right] & \leftarrow & a \otimes \varphi \end{array}$$ donde $\{e_i\}$ es una base de $A$ y $\{e_i^*\}$ es la correspondiente base dual de $A^*.$

(2) La construcción de la estructura del álgebra puede repetirse para cada $\mathrm{Hom}(C,A)$ donde $A$ es un álgebra y $C$ un álgebra. En particular, $A^*$ siempre admite una estructura de álgebra: $(\varphi*\psi)(a) = \sum \varphi(a_1)\psi(a_2)$ .

(3) Ser $A$ de dimensiones finitas, $A^*$ admite de hecho una estructura bialgebraica, donde $\Delta_*(\varphi) = \sum \varphi_1 \otimes \varphi_2$ está determinada de forma única por la regla $$\sum \varphi_1(a)\varphi_2(b) = \varphi(ab)$$ para todos $a,b \in A$ y $\varepsilon_*(\varphi) = \varphi(1)$ .

(4) Dado que ambos $A$ y $A^*$ son bialgebras, $A \otimes A^*$ es también una bialgebra con $$(a \otimes \varphi)(b \otimes \psi) = ab \otimes \varphi * \psi, \\ \Delta_{A \otimes A^*}(a \otimes \varphi) = \sum \left(a_1 \otimes \varphi_1\right) \otimes \left(a_2 \otimes \varphi_2\right), \\ u_{A \otimes A^*} = u_A \otimes u_{A^*},\\ \varepsilon_{A \otimes A^*} = \varepsilon_A \otimes \varepsilon_{A^*}.$$

(5) Si se considera la estructura del álgebra en $\mathrm{End}(A)$ que ha dado más arriba y la estructura algebraica anterior sobre $A \otimes A^*$ se dará cuenta de que $\mathrm{End}(A) \cong A \otimes A^*$ como álgebras. En particular, si se transfiere la estructura de álgebra en $\mathrm{End}(A)$ entonces se obtiene una estructura bialgebraica. Por lo tanto, en este caso la respuesta a tu primera y tercera pregunta es sí.

(6) La respuesta a la segunda pregunta en cambio es: con la construcción anterior, en general no, a menos que $A$ es ya un álgebra de Hopf. Supongamos que se consigue dotar a $\mathrm{End}(A)$ con una antípoda $S_E$ . Considere la composición $$S:= \left(A^* \xrightarrow{1\otimes A^*} A \otimes A^* \xrightarrow{S_E} A \otimes A^* \xrightarrow{\varepsilon \otimes A^*} A^*\right).$$ Satisface $$S(\varphi_1)*\varphi_2 = (\varepsilon \otimes A^*)\left(S_E(1 \otimes \varphi_1)(1 \otimes \varphi_2)\right) = (\varepsilon\otimes A^*)(1_A \otimes \varepsilon_*(\varphi)1_{A^*}) = \varepsilon_*(\varphi)1_{A^*}$$ y análogamente en el otro lado (y se puede realizar la misma construcción para $A$ ). Por lo tanto, tiene una antípoda en $A^*$ y en $A$ .

Para el caso de dimensiones infinitas, diría que la respuesta es no (al menos, no "canónicamente"), pero no tengo ningún contraejemplo que exhibir actualmente.