Demuestra que $ \lim_ {x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} =0 $ , (Inténtalo con mi enfoque de abajo)

Question

Dejemos que $ \ f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \ $ sea una función recíproca definida por $ \ f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ para $ x>0 \ $

El logaritmo natural es $\ln : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \ $ tal que \begin{equation} \ln(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle\int_{[1,x]} f & \text{if} & x \geq 1, \\ -\displaystyle\int_{[x,1]} f & \text{if} & 0 <x<1 \end{array} \derecho. \Fin de la ecuación.

Entonces demuestre que $ \ \ \large \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} =0 $

Respuesta:

Supongamos que $ \ \epsilon>0 \ $

Para $ \ x> \frac{2}{\epsilon} \ $ , dejemos que $ \ U(x,\epsilon) \ $ sea la suma de las áreas de las cajas $ \ [1, \frac{2}{\epsilon}] \times [0,1] \ \ and \ \ [\frac{2}{\epsilon}, x] \times [0, \frac{\epsilon}{2}] \ $

El gráfico es el siguiente:

Dejemos que $ \ U(x,\epsilon)=\text{upper sum} $ .

podemos ver que si dibujamos el gráfico $ \ln(x) \ $

$ U(x,\epsilon) \geq \ln (x) \ $

Ahora bien, si podemos demostrar que $ \large \frac{U(x,\epsilon)}{x} < \epsilon $ , entonces tendremos $ \large \frac{\ln (x)}{x} < \epsilon $ , lo que demostrará que $ \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}=0 \ $

Pero no puedo demostrar que $ \large \frac{U(x,\epsilon)}{x} < \epsilon $ .

** Ayúdame y dibuja el gráfico anterior con claridad si es posible.**

Answer 1

Pista 1: Para $x\ge1$ , $$ \frac{\log(x)}{x}=\frac1x\int_1^x\frac{\mathrm{d}t}t\lt1 $$ Pista 2: $$ \frac{\log(x)}x=\frac2{\sqrt{x}}\frac{\log\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\lt\frac2{\sqrt{x}} $$

Answer 2

No es una respuesta, sino una sugerencia:

\begin{eqnarray} {\log x \over x} &=& {\int_1^x {dt \over t} \over x} \\ &=& {\int_1^{x_0} {dt \over t} +\int_{x_0}^x {dt \over t} \over x } \\ &=& {1 \over x} \int_1^{x_0} {dt \over t} +\int_{x_0}^x {dt \over xt} \\ &\le& {1 \over x} \int_1^{x_0} {dt \over t} +\int_{x_0}^x {dt \over t^2} \\ &=& {1 \over x} \int_1^{x_0} {dt \over t} + {1 \over x_0} - {1 \over x} \\ &\le& {1 \over x} \int_1^{x_0} {dt \over t} + {1 \over x_0} \end{eqnarray}

Apéndice :

Prueba con una partición $P=(1,x_0,x)$ para conseguir $\int_1^x {dt \over xt} \le {1 \over x} U(f,P) \le {1 \over x} (x_0-1+{1 \over x_0}(x-x_0)) \le {x_0-1 \over x} + {1 \over x_0}$ .

Ahora elige $x_0$ y $x$ adecuadamente.