Un límite sobre $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ ?

Question

Esta es mi pregunta:

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n^2\left[\left(1+\frac{1}{1+n}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]=?$$

Cualquier sugerencia estará bien. Gracias.

Answer 1

HINT

Tenga en cuenta que (para ser más riguroso)

• $(1+\frac{1}{1+n}) ^{n+1}=e^{(n+1)\log\left(1+\frac{1}{1+n}\right)}\sim e^{(n+1)\left(\frac{1}{1+n}-\frac{1}{2(1+n)^2}\right) }=e^{1-\frac{1}{2(1+n)}}\sim e\left(1-\frac{1}{2(1+n)}\right)$

• $(1+\frac{1}{n}) ^{n}=e^{n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}\sim e^{n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}\right) }=e^{1-\frac{1}{2n}}\sim e\left(1-\frac{1}{2n}\right)$

entonces

$$n^2\left[\left(1+\frac{1}{1+n}\right)^{n+1} - \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]\sim e\cdot n^2\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(1+n)}\right)=e\cdot n^2\left(\frac{2}{4n^2+4n}\right)$$

Answer 2

Aquí está "cualquier" pista:

Set $x=1/n$ y tendrás $$ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}\biggl(\Bigl(1+\frac{x}{1+x}\Bigr)^{1+1/x}-(1+x)^{1/x}\biggr). $$ La expresión $$ \Bigl(1+\frac{x}{1+x}\Bigr)^{1+1/x}-(1+x)^{1/x} $$ en el lado derecho se puede expandir alrededor de $x=0$ (quizás después de definirlo como $0$ en $x=0$ ).

Answer 3

Sugerencia: Utilice $$n^2\left[\left(1+\frac{1}{1+n}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]=\frac{\left(1+\frac{1}{1+n}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\frac1{n^2}}$$ y luego utilizar la regla de L'Hopital.