Las proyecciones son morfismos finitos

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad en $\Bbb{P}^n$ . Me gustaría ver de la forma más sencilla posible por qué la proyección de $X$ de un punto es un mapa finito. Supongamos que $p=(1:0:\ldots:0)\notin X$ y que $\pi:X\rightarrow\Bbb{P}^{n-1}$ definirse como $$ \pi(x_0:\ldots:x_n)=(x_1:\ldots:x_n)$$

Para demostrar la finitud podemos considerar $U_j=\{x\in X: \ x_j\neq0\}$ y demostrar que la restricción $$\pi:U_j\longrightarrow \pi(U_j)=Y\subset\Bbb{A}^{n-1}$$ es finito, es decir, cualquier $g\in k[U_j]$ es un elemento integral sobre $k[Y]$ .

Editar: la pregunta realmente es: ¿cómo podemos construir prácticamente una ecuación integral para $g$ es decir $$g^k+b_{k-1}g^{k-1}+\cdots+b_0=0, \quad b_j\in k[Y]. $$

Answer 1

Esta es una manera de ver esto. Primero, el morfismo de estructura $X \to \operatorname{Spec} k$ es adecuado ya que $X$ es proyectiva. Además, porque $\Bbb{P}^{n}_k$ se separa sobre $\operatorname{Spec} k$ la diagonal $\Delta$ del morfismo de estructura $\Bbb{P}^n_k \to \operatorname{Spec} k$ es una inmersión cerrada, en particular propia. Se deduce que el mapa $X \to \Bbb{P}^{n-1}$ es apropiado.

Ahora, para cualquier punto $q \in \Bbb{P}^{n-1}$ la fibra $\pi^{-1}(q)$ es un subconjunto cerrado propio de una línea (porque $p\notin X$ ) y, por tanto, es un conjunto finito. En conclusión, $\pi$ es un morfismo propio cuasi finito y por tanto es finito por Pilas, etiqueta $020G$ .