Demostrar que $ \intop_{\gamma}fdz=0 $ para una función compleja

Question

Dejemos que $ f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ sea holomorfo y $ C_{\mathbb{C}}^{1} $ función. Sea $ \gamma $ sea una paramaterización del límite del rectángulo (con dirección horaria). Demostrar que $$ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=0 $$

Usando el teorema de Green.

Sé que debería escribir $ f\left(x,y\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right) $ y entonces probablemente después de Usar el teorema de Green, la ecuación de Cauchy Riemmman me daría que la integral se desvanece, pero no estoy seguro de cómo llegar allí. si $\gamma $ es el límite del rectángulo, y digamos $ z(t), a\leq t\leq b $ es la paramaterización, entonces por definición $$ \intop_{\gamma}f\left(z\right)dz=\intop_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z'\left(t\right)dt $$

Ahora podemos escribir $ z\left(t\right)=x\left(t\right)+iy\left(t\right) $ y $ f\left(x,y\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right) $ que nos llevará a $$ \intop_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z'\left(t\right)dt=\intop_{a}^{b}[u\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)+iv\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)][x'\left(t\right)+iy'\left(t\right)]dt $$

$$ =\intop_{a}^{b}u\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)x'\left(t\right)-v\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)y'\left(t\right)dt+i\intop_{a}^{b}u\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)y'\left(t\right)+v\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)x'\left(t\right)dt $$

$$ =\intop_{\gamma}u\left(x,y\right)dx-v\left(x,y\right)dy+i\intop_{\gamma}u\left(x,y\right)dy+v\left(x,y\right)dx $$

Y utilizando el teorema de Green:

$$ =\intop_{R}\left(\frac{d}{dx}u\left(x,y\right)+\frac{d}{dy}v\left(x,y\right)\right)dxdy+i\intop_{R}\left(\frac{d}{dx}v\left(x,y\right)-\frac{d}{dy}u\left(x,y\right)\right)dxdy $$

Por Cauchy-Riemman tenemos

$$ \frac{d}{dx}u\left(x,y\right)=\frac{d}{dy}v\left(x,y\right),\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\frac{d}{dy}u\left(x,y\right)=-\frac{d}{dx}v\left(x,y\right) $$

Que sería exactamente lo que necesito si se multiplicara por $-1$ . Entonces, ¿dónde está mi error?

Si tiene una forma más sencilla, me encantaría verla.

Tenga en cuenta que esto es sólo el comienzo del curso de análisis complejo que estoy tomando, por lo que no se nos permite utilizar el hecho de que la función holomorfa es analítica.

Answer 1

El error proviene de la utilización incorrecta del teorema de Green. Debería ser

$$ \int_\gamma Adx + Bdy = \int_R \left(\frac{\partial}{\partial x}B - \frac{\partial}{\partial y}A\right)dxdy. $$

Aplicando esto a su fórmula, debería obtener

\begin{align} \intop_{\gamma}u\left(x,y\right)dx-v\left(x,y\right)dy =\intop_{R}\left(-\frac{d}{dx}v\left(x,y\right)-\frac{d}{dx}u\left(x,y\right)\right)dxdy\\ i\intop_{\gamma}u\left(x,y\right)dy+v\left(x,y\right)dx = i\intop_{R}\left(\frac{d}{dx}u\left(x,y\right)-\frac{d}{dy}v\left(x,y\right)\right)dxdy. \end{align}