Demostrar que $\{f_\alpha\}_{\alpha\in \mathbb{R}}$ , $f_\alpha = p(\alpha)$ es linealmente independiente

Question

Creo que este puede ser un resultado muy conocido (o incluso sencillo) pero simplemente no sé cómo buscarlo en Google o qué temas buscar en un libro. Entonces, qué me recomiendan ustedes (duplicado o incluso algún enlace de la prueba, sugerencia de libros, lo que sea) para lo siguiente (es un ejercicio de Álgebra Lineal que no pude hacer en absoluto):

Considere $V=\mathscr{P}(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$ . Dado $\alpha\in \mathbb{R}$ dejar $f_\alpha \in V^*$ sea la función lineal definida por $$f_\alpha:\mathscr{P}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$$ $$p(x) \mapsto p(\alpha)$$ Demuestra que $\{f_\alpha\}_{\alpha \in \mathbb{R}}$ es un $\mathbb{R}$ -conjunto linealmente independiente en $V^*$ .

Lo que he probado: Considere $a_1,\dots,a_n\in \mathbb{R}$ y $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in \mathbb{R}$ distintivos. Demostremos que si $$\tag{1}\sum_{i=1}^na_if_{\alpha_i}=\mathscr{O}\in V^*\text{(the zero linear functional)}$$ entonces $a_i=0,\forall i\in\{1,\dots,n\}$ . Si (1) se cumple, entonces, para todo $p(x)\in V$ tenemos $$\left(\sum_{i=1}^na_if_{\alpha_i}\right)(p(x))=0 \iff \sum_{i=1}^na_ip(\alpha_i)=0. \tag{2}$$ Entonces, mi idea era elegir algunos polinomios adecuados y concluir, tal vez por un sistema, que $a_i=0$ . He elegido $p_k(x)=x^k,k\in\{0,\dots,n-1\}$ y fue conducido al sistema $$\left(\begin{array}{cccc}1&1&\dots&1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \alpha_1^{n-1} & \alpha_2^{n-1}&\dots & \alpha_n^{n-1} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdots \\a_n \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}0\\0\\ \vdots \\0\end{array}\right)$$ pero de aquí a concluir que $a_i=0$ no me queda claro (no sé nada de la $\alpha_i$ 's!)

Tal vez otra opción de la $p_k(x)$ o incluso una forma completamente diferente de resolver esto? ¡Agradezco su ayuda!

Answer 1

Suponga que tiene $f_{\alpha_k}$ y $\beta_k$ tal que $f=\sum_k \beta_k f_{\alpha_k} = 0$ .

Dejemos que $p_k (x) = { \prod_{i \neq k} (x-\alpha_i) \over \prod_{i \neq k} (\alpha_k-\alpha_i)} $ y observe que $p_k(\alpha_i) = \delta_{ik}$ .

Entonces $f(p_k) = \beta_k = 0$ y así $\beta_k = 0$ .