Compartida entre vectores propios $A$ $A^k$

Question

$\newcommand\la{\lambda}$ Gracias a la espectral de asignación de teorema, sabemos que si $\la_1,\ldots,\la_n$ son los autovalores de a $n\times n$ matriz compleja $A$, $\la_1^k,\ldots,\la_n^k$ son los autovalores de a $A^k$.

Además, si $v_i$ es un autovector de a $A$ asociado a $\lambda_i$, a continuación, $v_i$ también es un autovector de a $A^k$ asociado a $\la_i^k$. De hecho, $A^kv=A^{k-1}\la_i v_i=\cdots=\la_i^kv_i$.

Así que mi pregunta es la siguiente: Si $v_1,\ldots,v_n$ son los vectores propios de a $A$, se $v_1,\ldots,v_n$ también todos los vectores propios de a $A^k$? En otras palabras, es posible que haya algunos vectores $v$ que es un autovector de a $A^k$ pero no un autovector de a $A$? Parece intuitivo que esto no debería ocurrir, pero soy incapaz de encontrar un argumento para demostrar que.

Answer 1

No. Considere la matriz $$N := \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}:$$ Su único autovalor es $0$, y el correspondiente espacio propio $L$ es atravesado por la primera base de vectores, $$\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}.$$ Por otro lado, $N^2$ es la matriz cero, y por lo tanto cada vector en $\mathbb{R}^2$ es un autovector de a $N^2$ (de autovalor cero), y, en particular, todos los vectores en $\mathbb{R}^2 - L$ es un autovector de a $N^2$ pero no $N$.

Por otro lado, todos los vectores propios de a $N$ son vectores propios generalizados de $N^2$. Editar Esta propiedad no tienen en general para contraejemplos, sin embargo, como avid19 del instructivo ejemplo se muestra.

Answer 2

Deje que $$ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right)$$ Entonces $$ A^2=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ Entonces $$ A[1,1]^t=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right)[1,1]^t=[1,-1]$$ Lo que muestra que $[1,1]^t$ no es un autovector de a $A$. Pero sin duda es un autovector de a $A^2=I$.

Answer 3

He aquí otra de sabor de ejemplo, ( $\mathbb{R}$ , de todos modos):

La matriz $$J := \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}$$ no tiene verdadero (distinto de cero) vectores propios, pero $$J^2 = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$$ is a scalar matrix, and in particular every vector in $\mathbb{R}^2$ is an eigenvector of $J^2$.

Comentario Si consideramos a $\Bbb C$ como un espacio vectorial sobre$\Bbb R$, $J$ es la matriz (con respecto a la norma base) para la multiplicación por $i$, o lo que es equivalente, en el sentido contrario de rotación por $\frac{\pi}{2}$; esta última interpretación nos da inmediatamente un geométricas explicación de por qué los $J$ no tiene autovalores (y por qué $J^2$ es el escalar matriz por escalar $-1$).