categorías abelianas enriquecidas sobre las esquilas

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio anillado. La categoría abeliana de (cuasi-coherentes) $\mathcal{O}_X$ -no se comporta tan bien como la categoría de $A$ -para un anillo conmutativo $A$ . La razón es que no hay suficientes objetos proyectivos. En particular, $\mathcal{O}_X$ no es proyectiva, ya que $Hom(\mathcal{O}_X,-)$ es el functor de sección global, que no es exacto.

Quiero arreglar esto enriqueciendo la categoría abeliana sobre $Sh(X)$ la categoría abeliana monoidal de las láminas abelianas sobre $X$ . Obsérvese que $\underline{Hom}(\mathcal{O}_X,-)$ es simplemente el mismo functor, por lo que $\mathcal{O}_X$ debe ser proyectiva desde este punto de vista. En realidad quiero que $\mathcal{O}_X$ -Mod tiene todas las propiedades homológicas como $A$ -Mod, salvo que hablamos de ellos en otro topos, a saber $Sh(X)$ en lugar de $Set$ .

En particular, quiero generalizar el siguiente teorema conocido: Sea $\mathcal{A}$ sea una categoría abeliana, que tiene un progenerador $P$ (es decir, un generador proyectivo finito), cuyos coproductos existen. Entonces $\mathcal{A}$ equivale a $Mod_A$ para algún anillo (no conmutativo) $A$ , a saber $A$ es el anillo de endomorfismo de $P$ .

Entonces, ¿cómo definimos una categoría abeliana $\mathcal{A}$ en $Sh(X)$ de forma razonable? Ya he escrito una posible definición, pero me pregunto si es posible evitar la categoría de elementos de la categoría enriquecida, ya que esto hace que toda la historia sea no local. Por ejemplo, cuando se quiere escribir lo que debe ser el núcleo de un morfismo, o cuando se quieren definir las nociones de generadores u objetos proyectivos.

¿O deberíamos decir que todo es una gavilla? Una categoría es un par $(O,M)$ que consiste en una gavilla $O$ en $X$ (objetos) y una gavilla $M$ en $X$ (morfismos) junto con los mapas $M \to O \times O$ ...etc...

Estoy bastante seguro de que alguien ha trabajado esto en detalle hace algunas décadas, por lo que una referencia estaría bien.

EDIT [12. 09]: Creo que la siguiente definición funciona: Una categoría sheabeliana ;) es un par $(X,A)$ que consiste en un espacio topológico $X$ y un presheaf $A$ en $X$ , valorada en la categoría de categorías abelianas, tal que la siguiente condición de gavilla se cumple:

1) Si $U = \cup_i U_i$ y $f,g : F \to G$ son morfismos en $A(U)$ y $\eta_i$ son transformaciones naturales entre $f|_{U_i}, g|_{U_i}$ que son compatibles en el $U_i \cap U_j$ entonces se elevan de forma única a una transformación natural entre $f$ y $g$ .

2) Si $U = \cup_i U_i$ y $T_i \in A(U_i)$ son objetos, que son isomorfos en $U_i \cap U_j$ de manera que se cumpla la condición de coyuntura, entonces existe un objeto $T \in A(U)$ que se restringe a un objeto isomorfo a $T_i$ y los isomorfismos aquí son compatibles entre sí.

Básicamente, este concepto funciona para todos los $2$ -categoría. Los objetos de $(X,A)$ se definen como objetos de $A(X)$ pero las propiedades y construcciones de estos objetos se definen localmente. Por ejemplo, $Hom(P,-)$ para un objeto $P$ es un functor $A(X) \to Sh(X)$ . Actualmente, estoy tratando de resolver los detalles para la generalización del teorema anterior. Obsérvese que si $(X,\mathcal{O}_X)$ es un espacio anillado, entonces $O_X$ debe ser un progenerador de $Mod_{O_X}$ .

EDIT [15.09] Vale, creo que acabo de reinventar la noción de pila. ;)

Así que mi pregunta es: ¿Existe literatura sobre una especie de álgebra homológica de montones de categorías abelianas? Aquí me interesa principalmente el sitio asociado a un espacio topológico, y algunos de los $2$ -Los isomorfismos en la definición de una pila deben convertirse en identidades (ya que, por ejemplo, tenemos $(F|_V)|_W = F|_W$ para una gavilla $F$ en $X$ ).

Answer 1

Sí, parece que estás mirando básicamente a las pilas. Obsérvese que los apilamientos, y más generalmente los prestacks y las categorías fibrosas, pueden identificarse con categorías enriquecidas sobre la autoindexación del topos de las láminas, o equivalentemente sobre la bicategoría de los espacios en el topos de las láminas. Hay un poco de escasez de buenas exposiciones de ese punto de vista, pero se puede intentar B2.2 en Bocetos de un elefante y el artículo "Variation through enrichment" (que es un poco denso y muy teórico de la categoría).

Sin embargo, no es cierto que el hecho de trabajar en otro topoi resuelva la cuestión de que las láminas abelianas no tengan suficientes proyectivos, porque la prueba en Set de que las categorías de módulos tienen suficientes proyectivos no es constructiva, y por tanto no se relativiza a todos los topoi. En particular, el hecho de que los módulos libres sean proyectivos se basa en el hecho de que todos los conjuntos son proyectivos en Set, lo que es equivalente al axioma de elección. No se necesita toda la fuerza de AC para mostrar que hay suficientes proyectivos -- el axioma de presentación es suficiente -- pero sigue sin ser cierto en la mayoría/todos los topoi.