Encuentra el volumen entre la superficie $x^2+y^2+z=1$ y $z=x^2+(y-1)^2$

Question

Estoy tratando de encontrar el volumen entre la superficie $x^2+y^2+z=1$ y $z=x^2+(y-1)^2$ pero nada me funciona.

Hice la trama y se ve así:

¿Cómo podría empezar? ¿Alguna recomendación?

Answer 1

Intenta comprobar dónde se cruzan las dos superficies. Resuelve las ecuaciones dadas para $z$ y los puso en igualdad de condiciones:

$$\begin{align*} 1-x^2-y^2&=x^2+(y-1)^2\\ 0&=2x^2+2y^2-2y\\ 0&=x^2+y^2-y\\ 0&=x^2+\left(y-\frac12\right)^2-\frac14\\ x^2+\left(y-\frac12\right)^2&=\frac1{2^2} \end{align*}$$

que corresponde al cilindro de radio $\frac12$ con secciones transversales paralelas al $(x,y)$ plano y centrado en el punto $\left(0,\frac12,0\right)$ .

Teniendo esto en cuenta, el cambio a coordenadas cilíndricas es el paso "obvio". Tomemos como ejemplo

$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=\frac12+r\sin\theta\\z=z\end{cases}\implies\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz$$

El sólido (llámese $S$ ) viene dada entonces por el conjunto

$$S=\left\{(r,\theta,z)\mid0\le r\le\frac12,0\le\theta\le2\pi,r^2-r\sin\theta+\frac14\le z\le\frac34-r^2-r\sin\theta\right\}$$

donde la última desigualdad se deduce de

$$\begin{align*} &x^2+(y-1)^2\le z\le1-x^2-y^2\\ &\implies r^2\cos^2\theta+\left(r\sin\theta-\frac12\right)^2\le z\le1-r^2\cos^2\theta-\left(\frac12+r\sin\theta\right)^2\\ &\implies r^2-r\sin\theta+\frac14\le z\le\frac34-r^2-r\sin\theta \end{align*}$$

El volumen es entonces

$$\iiint_S\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac12}\int_{r^2-r\sin\theta+\frac14}^{\frac34-r^2-r\sin\theta}r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$$

$$=\frac\pi{16}$$

Answer 2

La altura $h$ de la región en un determinado $x,\,y$ es $$h=1-2x^2-y^2-(y-1)^2=2(1/4-x^2-(y-1/2)^2),$$ y el correspondiente $x,\,y$ son aquellos para los que esto es $\ge0$ . La parametrización de tales $x,\,y$ por $x=\rho\cos\theta,\,y=\tfrac12+\rho\sin\theta$ con $0\le\rho\le\tfrac12,\,0\le\theta\le2\pi$ da el elemento de volumen como $$hdxdy=h\rho d\rho d\theta=2(1/4-\rho^2)\rho d\rho d\theta,$$ por lo que el volumen es $$4\pi\int_0^{1/2}\rho(1/4-\rho^2)d\rho=-\pi[(1/4-\rho^2)^2]_0^{1/2}=\frac{\pi}{16},$$ de acuerdo con la respuesta de @user170231 en términos de una integral triple.

Answer 3

Así es como yo lo haría.

1. Resolver para $z$ en ambos y se ponen iguales entre sí, para obtener la curva de intersección en el $xy$ -Avión.
2. Integrar la diferencia entre $z$ sobre el interior de esa curva para obtener $\Delta V$ .