Supongo que es una pregunta muy estúpida pero estoy atascado. Obviamente $x^{2k}+1$ no tiene raíz en $\mathbb Q$ pero supongo que esto no implica que deba ser irreductible. ¿Hay alguna manera fácil de demostrar esto?
Respuestas
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$ x^n + 1 $ es irreducible en $ \mathbf Q[x] $ precisamente cuando $ n $ es una potencia de 2. En efecto, si $ n $ no es una potencia de 2 entonces escribe $ n = 2^{v_2(n)} k $ con $ k $ impar, entonces $ x^{2^{v_2(n)}} + 1 $ divide $ x^n + 1 $ . Para demostrar lo contrario, hay que tener en cuenta que $ [\mathbf Q(\zeta_{2^k}) : \mathbf Q] = \varphi(2^k) = 2^{k-1} $ Así pues, el $ 2^k $ El tercer polinomio ciclotómico es de grado $ 2^{k-1} $ Sin embargo, tenemos $ x^{2^k} - 1 = (x^{2^{k-1}} - 1)(x^{2^{k-1}} + 1) $ lo que implica que el $ 2^k $ El polinomio ciclotómico es en realidad $ x^{2^{k-1}} + 1 $ y, por tanto, este polinomio es irreducible para $ k \geq 0 $ .
Se puede obtener otro argumento observando que el primo $ 2 $ es totalmente ramificado en el anillo de enteros $ \mathbf Z[\zeta_n] $ y, por lo tanto, podríamos suponer que $ x^n + 1 $ se convierte en Eisenstein en $ 2 $ con una transformación de variables adecuada. Esta suposición es correcta: el coeficiente binomial $ C(n, k) $ es siempre divisible por $ 2 $ para $ 1 \leq k \leq n-1 $ cuando $ n $ es una potencia de $ 2 $ Por lo tanto $ (x+1)^n + 1 $ es Eisenstein en $ 2 $ y, por tanto, irreducible en $ \mathbf Q[x] $ .
lhf
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Esto es falso. Por ejemplo, $$x^{12}+1= (x^4+1) (x^8-x^4+1)$$
La factorización de $x^{2k}+1$ aparece en la factorización de $x^{4k}-1$ que viene dado por polinomios ciclotómicos .
