El teorema de Stokes que buscas es el que utiliza formas diferenciales: $$ \int_\gamma \omega = \int_S d\,\omega. $$ Aquí $\gamma = \partial S$ (He cambiado su notación para que la superficie sea $S$ y el límite es $\gamma$ .) En este caso, la superficie es la porción del parabaloide sobre el 1er cuadrante y el límite consiste en tres curvas,el cuarto de círculo $\gamma_1$ de (2,0) a (0,2) en el $xy$ -plano, la parte de la parábola $\gamma_2$ en el $yz$ plano de (0,2,0) a (0,0,4), y la parte de la parábola $\gamma_3$ en el $xz$ -plano de vuelta de (0,0,4) a (2,0,0). El $d$ es la derivada exterior de Cartan. $$ \begin{gathered}\omega=4x\,dx+9xy\,dy+3(x^{2}+y^{2})\,dz=4x\,dx+9xy\,dy+3(4-z)\,dz\\ d\omega=9y\,dx\wedge dy \end{gathered} $$ Deberíamos tener $$ \int_\gamma \omega =\int_{\gamma_1} \omega +\int_{\gamma_2} \omega+\int_{\gamma_3} \omega = \int_S d\,\omega. $$ Calculemos primero la integral de superficie. La superficie $S$ está parametrizado por $$ (r\cos\theta,r\sin\theta,4-r^{2})\qquad\begin{cases} 0\le r\le 2\\ 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} \end{cases} $$ y $$ \begin{aligned}d\omega & =9y\,dx\wedge dy\\ & =9r\sin\theta\,d(r\cos\theta)\wedge d(r\sin\theta)\\ & =9r\sin\theta\,(\cos\theta\,dr-r\sin\theta\,d\theta)\wedge d(\sin\theta\,dr+r\cos\theta\,d\theta)\\ & =9r\sin\theta\,r\,dr\wedge d\theta=9r^{2}\sin\theta\,dr\wedge d\theta. \end{aligned} $$ Con esta parametrización la integral de superficie se convierte en la simple integral doble $$ \int^{\pi/2}_0 \int^2_0 9r\sin\theta\,dr\,d\theta =\left.\left.-3r^{3}\cos\theta\right|_{r=0}^{2}\right|_{\theta=0}^{\pi/2}=24. $$
Por supuesto, deberíamos hacer las integrales de línea para ver si coinciden. Empecemos con la integral sobre $\gamma_1$ . Esto se puede parametrizar mediante $$ \gamma_1= (2\cos\theta,2\sin\theta,0) $$ para $0\le \theta \le \pi/2$ . Ahora restringiendo $\omega = 4x\,dx+9xy\,dy+3(4-z)\,dz$ a $\gamma_1$ da: $$ \left.\omega\right|_{\gamma_{1}}= -16\cos(\theta)\sin(\theta) + 72\cos^2(\theta) \sin(\theta) $$ y $$ \int^{\pi/2}_0 -16\cos(\theta)\sin(\theta) + 72\cos^2(\theta) \sin(\theta) \,d\theta = 16. $$ Las curvas $\gamma_2$ está parametrizado por $(0,2-t,4t-t^2)$ y la curva $\gamma_3$ se da sea $(t,0,4-t^2)$ para $0\le t\le 2$ . El lector puede comprobar que $\int_{\gamma_2} \omega = 8$ y $\int_{\gamma_2} \omega = 0$ y encontrar que $\int_S d\omega = \int_\gamma \omega$ .
