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¿Cómo encontrar la dimensión del espacio nulo de una matriz dada?

Dejemos que $A$ ser un $5×4$ matriz con entradas reales tal que el espacio de todas las soluciones del sistema lineal $AX^t = \begin{pmatrix}{1,2,3,4,5}\end{pmatrix}$ viene dada por $\{[1+2s,2+3s,3+4s,4+5s]^t : s \in \Bbb R \}$ (Aquí $M^t$ denota la transposición de una matriz $M$ ). Entonces cómo encontrar la dimensión del espacio nulo.


Mi intento

He visto en alguna parte que

$$\begin{pmatrix}{1+2s \\ 2+3s \\ 3+4s \\ 4+5s}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}\end{pmatrix}$$

donde $s$ es una variable libre. Así que $\dim(\mbox{null}(A)) = 1$ . Pero no sé el concepto que se esconde detrás. Por favor, ayúdeme.

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¿No debería resolver $AX=0$ si buscas el espacio nulo

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Sé que la dimensión del espacio nulo = $n-r$ para $A_{m×n}X_{n×1} = O_{m×1}$ . Donde $n$ es el número de columnas de la matriz $A_{m×n}$ y $r$ es el rango de $A_{m×n}$

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Ugo Puntos 115

Respuesta corta

Yo diría que la forma más rápida de llegar es mediante el teorema de Rank-Nullity del que se puede deducir:

$$\mathrm{dim}(\mathrm{Nul}\, A) = \text{ the number of free variables}$$

Creo que se ha referido a ello en un comentario. Para una explicación de su validez en el contexto de la forma escalonada de una matriz, véase esto respuesta .

Respuesta larga

Digamos que desconocemos el teorema de Rank-Nullity y queremos encontrar la dimensión de $\mathrm{Nul}\, A$ . Una forma de encontrar la dimensión del espacio nulo de una matriz es encontrar una base para el espacio nulo. El número de vectores de esta base es la dimensión del espacio nulo. Como mostraré para el caso de una variable libre, $^1$ el número de vectores de la base corresponde al número de variables libres.

Se nos dice que todas las soluciones $\mathbf{x}$ a la ecuación matricial dada

$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}\tag1$$ donde

$$\mathbf{b} = \begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\end{bmatrix}$$

son de la forma $\mathbf{x} = \mathbf{p} + s\mathbf{q}$ para $s \in \mathbb{R}$ donde

$$\mathbf{p} = \begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix} \qquad \text{and} \qquad \mathbf{q} = \begin{bmatrix}2\\3\\4\\5\end{bmatrix} \tag2$$

[El vector $\mathbf{p}$ se llama solución particular de (1).]

Dejemos que $X$ denotan el conjunto de soluciones de (1), es decir, $X = \{\mathbf{x} : \mathbf{x} = \mathbf{p} + s\mathbf{q} \text{ for } s \in \mathbb{R}\}$ y recordar que el espacio nulo de $A$ es el conjunto de todo vectores $\mathbf{x}$ que satisfacen la ecuación

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0} \tag3$$

Existe una relación íntima entre los vectores en $X$ y los de $\mathrm{Nul}\, A$ . Denotemos el conjunto $Z = X - X = \{\mathbf{z} : \mathbf{z} = \mathbf{x} - \mathbf{y} \text{ for }\mathbf{x}, \mathbf{y} \in X\}$ y observe que cualquier $\mathbf{z} \in Z$ es una solución de (3).

$$A\mathbf{z} = A(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = A\mathbf{x} - A\mathbf{y} = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0} \qquad \text{where $ \en X $} $$

Así, $Z \subset \mathrm{Nul}\, A$ .

Desde $\mathbf{x} = \mathbf{p} + r\mathbf{q}$ y $\mathbf{y} = \mathbf{p} + s\mathbf{q}$ para algunos $r,s \in \mathbb{R}$ tenemos que $\mathbf{z} = \mathbf{x} - \mathbf{y} = (r-s)\mathbf{q}$ . Por lo tanto, cualquier $\mathbf{z} \in Z$ puede escribirse de la forma $t\mathbf{q}$ (elegir $t = r -s$ ), y cada vector $t\mathbf{q}$ corresponde a un vector $\mathbf{z} \in Z$ (elegir $r-s =t$ ). En otras palabras, $Z = \mathrm{Span}\{\mathbf{q}\}$ Así que, de forma similar, tenemos $\mathrm{Span}\{\mathbf{q}\} \subset \mathrm{Nul}\, A$ .

A continuación, mostraremos que todo vector en el espacio nulo de $A$ está en $\mathrm{Span}\, \{\mathbf{q}\}$ .

Dejemos que $\mathbf{x} = \mathbf{p} + r\mathbf{q}$ donde $r \in \mathbb{R}$ (es decir, $\mathbf{x} \in X$ ), y supongamos $\mathbf{u} \in \mathrm{Nul}\, A$ . Entonces, tenemos

$$A(\mathbf{x} + \mathbf{u}) = A(\mathbf{p} + r\mathbf{q} + \mathbf{u}) = A(\mathbf{p} + \mathbf{u}) + A(r\mathbf{q}) = A(\mathbf{p} + \mathbf{u}) = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}$$

Así, $\mathbf{p} + \mathbf{u}$ es una solución de (1) y debe ser de la forma $\mathbf{p} + s\mathbf{q}$ . Es decir,

$$\mathbf{p} + \mathbf{u} = \mathbf{p} + s\mathbf{q} \quad \text{or equivalently} \quad \mathbf{u} = s\mathbf{q} \quad \text{for some $ s en \mathbb{R} $}$$

Así, si $\mathbf{u} \in \mathrm{Nul}\, A$ , $\mathbf{u}$ es un múltiplo escalar de $\mathbf{q}$ , lo que por definición significa que $\mathbf{u} \in \mathrm{Span}\{\mathbf{q}\}$ .

Como hemos demostrado que $\mathrm{Nul}\, A \subset \mathrm{Span} \{\mathbf{q}\}$ y $\mathrm{Span} \{\mathbf{q}\} \subset \mathrm{Nul}\, A$ tenemos que $\mathrm{Span} \{\mathbf{q}\} = \mathrm{Nul}\, A$ .

Desde $\{\mathbf{q}\}$ es un conjunto linealmente independiente que abarca $\mathrm{Nul}\, A$ , $\{\mathbf{q}\}$ es una base para $\mathrm{Nul}\, A$ y $\mathrm{dim}(\mathrm{Nul})\, A = 1$ .


$^1$ Para el caso de $n$ variables libres, esta relación también se mantiene. Cualquier solución $\mathbf{x}$ a un sistema no homogéneo puede escribirse como

$$\mathbf{x} =\mathbf{p} + \sum_{i = 1}^n s_i \mathbf{q}_i$$

donde $\mathbf{p} \ne \mathbf{0}$ denota una solución particular del sistema no homogéneo, $s_i$ denota una variable libre, y cada $\mathbf{q}_i$ es análogo a $\mathbf{q}$ de (2). A partir de aquí, demostraríamos que cada $\mathbf{q}_i \in \mathrm{Nul}\, A$ y que si $\mathbf{x} \in \mathrm{Nul}\, A$ entonces $\mathbf{x} \in \mathrm{Span}\{\mathbf{q}_1,\dotsc,\mathbf{q}_n\}$ . Confirmando la independencia lineal del conjunto $\{\mathbf{q}_1,\dotsc,\mathbf{q}_n\}$ establece $\{\mathbf{q}_1,\dotsc,\mathbf{q}_n\}$ como base para $\mathrm{Nul}\, A$ con $n$ vectores, por lo que podemos concluir $\mathrm{dim}(\mathrm{Nul}\, A) = n$ .

1voto

gimusi Puntos 1255

La solución general para un sistema lineal $Ax=b$ viene dada por dos términos:

$$x=x_p+x_h$$

con

  • solución particular $Ax_p =b$
  • solución homogénea $Ax_h =0$

tal que

$$Ax=A(x_p+x_h)=Ax_p+Ax_h=b+0=b$$

En su caso tenemos

$$x_p=\begin{pmatrix}{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}\end{pmatrix}\quad x_h= s \begin{pmatrix}{2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}\end{pmatrix}$$

y como $x_h$ es un subespacio de dimensión $1$ tenemos que $\dim(\mbox{null}(A)) = 1$ .

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