Aplicación del teorema implícito

Question

Encontrar las condiciones de la función $f$ y $g$ que permiten resolver las ecuaciones $$f(xy)+g(yz)=0\ \ \textrm{and} \ \ g(xy)+f(yz)=0 $$ para $y$ y $z$ como funciones de $x$ , cerca del punto $x=y=z=1$ y $f(1)=g(1)=0$ .

Intento: Este problema parece ser una aplicación del teorema de la función implícita. Normalmente en este tipo de problemas se definen transformaciones especiales, pero no sé cómo definirlas en este caso ya que tengo varias variables $x,y,z$ y dos funciones $f$ y $g$ . ¿Alguna idea de cómo empezar?

Answer 1

Dejemos que $F((x,y,z)) = \begin{bmatrix} f(xy) + g(yz) \\ f(yz)+g(xy)\end{bmatrix}$ y demostrar que $Df((1,1,1)) = \begin{bmatrix} f'(1) & f'(1)+g'(1) & g'(1) \\ g'(1) & f'(1)+g'(1) & f'(1)\end{bmatrix}$ . Escoge cualquier $2 \times 2$ submatriz y encontrar una condición que asegure que la submatriz es invertible.