¿Qué es el círculo más pequeño, de tal manera que un conjunto arbitrario de los círculos pueden ser colocados en la circunferencia sin piso?

Question

Tengo un conjunto de círculos de arbitrario radios de: $r_1, r_2, r_3, ... r_n$.

Deseo colocar en un círculo interior, de modo que todos ellos son tocar el perímetro del círculo interior, y no se superponen unos a otros.

Lo que no sé cómo hacer es averiguar el radio interior de $r_{inner}$.

Puedo averiguar el ángulo de cada círculo uso dado un radio interior: $\theta_i = 2\sin^{-1} \frac{r_i}{r_i+r_{inner}}$, por lo que puedo comprobar si un radio interior es la correcta.

Mi primera idea era resolver $2\pi = \sum_i (2\sin^{-1} \frac{r_i}{r_i+r_{inner}})$$r_{inner}$, pero que más allá de mis habilidades.

Yo también consideró si la suma de los diámetros sería igual a la circunferencia del círculo, sino que es un conjunto de segmentos de línea en lugar de un suave arco, y en la corrección que también está más allá de mí.

¿Cómo puedo averiguar $r_{inner}$?

Los números de los círculos alrededor de un círculo es relativa, pero se supone que los círculos son idénticos, que la mía no lo son.

Answer 1

Mediante el coseno de la regla, el ángulo en el centro del círculo interno entre líneas a través de los centros de los dos adyacentes tocar los círculos está dada por $$ \varphi(i,{i+1}) \;=\; \cos^{-1}\left(\frac{R^2+R r_i+R r_{i+1}-r_i r_{i+1}}{(R+r_i) (R+r_{i+1})}\right) $$ donde he usado $R$ en lugar de $r_{inner}$ por la simplicidad.

Por lo tanto, tenemos $$ \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \sum\limits_{i=1}^n\varphi(i,{i+1})\;=\;2\pi \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad(1) $$ si consideramos,$r_{n+1}=r_1$.

Utilizando identidades trigonométricas, para un determinado $n$, es posible convertir esta en un muy complejo expresión llena de raíces cuadradas, pero parece ser que no hay manera fácil de resolver que el resultado en general (aunque para$n=3$$r_i=1,2,3$, nos sorprendentemente consigue $R=\frac{6}{23}$).

Solución numérica es probablemente el mejor enfoque. (El siguiente diagrama se ha generado el uso de Mathematica para resolver numéricamente.)

Por otra parte, aunque esta es una condición necesaria, es no suficiente, en general, debido a una serie de pequeños círculos entre dos grandes círculos no se ajusta bien, causando la solución anterior para dar un resultado incorrecto (con los grandes círculos que se superponen):

$\qquad\qquad\qquad\qquad$

Así que para todos los $i\neq j$, para la solución anterior, para ser correcta también necesitamos $$ \varphi(i,j) \;\geqslant\; \sum_{k=i}^{j-1}\varphi(k,{k+1}) $$ con la adecuada envoltura alrededor de los índices de si $i>j$. Si esto no se cumple para algunos $i$$j$, entonces la solución correcta para $R$ se obtiene a partir de a $(1)$ descartando círculos $i+1,\ldots,j-1$. Debido a la posibilidad de anidado de superposición, la prueba y descarte debe ser hecho de forma iterativa, teniendo en cuenta el aumento de los valores de $|i-j|$ en orden.

Answer 2

En el siguiente diagrama, $R$ es el radio del círculo central y $r_1$ $r_2$ son dos de los alrededores de los círculos.

$\hspace{3cm}$

La Ley de los Cosenos dice $$ (r_1+r_2)^2=(R+r_1)^2+(R+r_2)^2-2(R+r_1)(R+r_2)\cos(\varphi_{12})\etiqueta{1} $$ lo que implica que $$ \begin{align} \cos(\varphi_{12}) &=\frac{(R+r_1)^2+(R+r_2)^2-(r_1+r_2)^2}{2(R+r_1)(R+r_2)}\\[6pt] &=\frac{(R+r_1)(R+r_2)-2r_1r_2}{(R+r_1)(R+r_2)}\\[6pt] &=1-2\frac{r_1}{R+r_1}\frac{r_2}{R+r_2}\tag{2} \end{align} $$ Necesitamos encontrar a $R$, de modo que $$ \pi=\sum_{i=1}^n\cos^{-1}\left(1-2\frac{r_i}{R+r_i}\frac{r_{i+1}}{R+r_{i+1}}\right)\etiqueta{3} $$ donde $r_{n+1}=r_1$. Para este fin, definir $$ f(x)=\pi\sum_{i=1}^n\cos^{-1}\left(1-2\frac{r_i}{x+r_i}\frac{r_{i+1}}{x+r_{i+1}}\right)\etiqueta{4} $$ y, a continuación, $$ f'(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\frac1{x+r_i}+\frac1{x+r_{i+1}}} {\sqrt{\frac{x+r_i}{r_i}\frac{x+r_{i+1}}{r_{i+1}}-1}}\etiqueta{5} $$ Por lo que podemos utilizar el método de Newton para obtener la recursividad $$ x_{k+1}=x_k- \frac{\displaystyle\pi-\sum_{i=1}^n\cos^{-1}\left(1-2\frac{r_i}{x_k+r_i}\frac{r_{i+1}}{x_k+r_{i+1}}\right)} {\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{\frac1{x_k+r_i}+\frac1{x_k+r_{i+1}}} {\sqrt{\frac{x_k+r_i}{r_i}\frac{x_k+r_{i+1}}{r_{i+1}}-1}}} $$