Sustituir las variables proposicionales en $\phi$ por su negación, voltear el valor de verdad del resultado, y mostrar que el resultado tiene el mismo valor de verdad que $\phi$ .

Question

Dejemos que $\phi$ sea una fórmula construida con $\lnot,\ \land,$ y $\lor$ .

Dejemos que $\phi'$ se construye sustituyendo cada variable proposicional de $\phi$ con su negación.

Para cualquier asignación de verdad $v$ , dejemos que $v'$ sea la asignación de verdad que da a cada variable proposicional el valor opuesto a $v$ .

Prueba $v(\phi)=v'(\phi')$

Me estoy atascando en el 2º paso de la prueba de inducción al intentar demostrar lo anterior con $\land$ .

Esta es la parte de mi prueba en la que me he atascado y creo que estoy haciendo algo mal:

Para $\phi$ como $(\theta\land\psi)$ :

Si $v(\theta\land\psi)=F$ uno de los valores de asignación para $\theta$ y $\psi$ es $v(\theta)=T$ y $v(\psi)=F$ .

$\phi'$ es entonces $(\lnot\theta\land\lnot\psi)$ . $v(\lnot\theta)=F$ y $v(\lnot\psi)=T\ \therefore\ v(\lnot\theta\land\lnot\psi)=F$ y $v'(\lnot\theta\land\lnot\psi)=T$

Esto contradice lo que estoy tratando de demostrar. ¿He cometido un error?

Answer 1

Ha cometido un error de cálculo $\ v'(\neg\theta\wedge\neg\psi)\ $ . Si bien es cierto que $\ v(\neg\theta\wedge\neg\psi)=F\ $ Esto no es relevante para el cálculo de $\ v'(\neg\theta\wedge\neg\psi)\ $ . Ha definido la asignación $\ v\ $ por: $$ v(\theta)=T,\ v(\psi)=F\ . $$ Por lo tanto, por definición, la asignación $\ v'\ $ viene dada por $$ v'(\theta)=F,\ v'(\psi)=T\ . $$ Por lo tanto, $\ v'(\neg\theta)=T\ $ , $\ v'(\neg\psi)=F\ $ y $\ v'(\neg\theta\wedge\neg\psi)= F\ $ .