Independencia condicional de las variables aleatorias

Question

Dejemos que $(X_t),$ $(Y_t)$ sean martingalas acotadas independientes (para la filtración $ \{ \mathcal{F}_t \}$ )que convergen a $X_\infty$ y $Y_\infty$ respectivamente, por el teorema de convergencia de la martingala. Sea $\{ \mathcal{F}^{X,Y}_t \}$ denotan la filtración generada por los procesos $X$ y $Y$ . A continuación, el libro afirma que

$$ \mathbb{E} [X_\infty Y_\infty | \mathcal{F}^{X,Y}_t ] = \mathbb{E} [X_\infty | \mathcal{F}^{X,Y}_t ] \mathbb{E} [Y_\infty | \mathcal{F}^{X,Y}_t ] = X_t Y_t \quad \text{ a.s..}$$

¿Puede alguien explicarme por qué $ \mathbb{E} [X_\infty Y_\infty | \mathcal{F}^{X,Y}_t ] = \mathbb{E} [X_\infty | \mathcal{F}^{X,Y}_t ] \mathbb{E} [Y_\infty | \mathcal{F}^{X,Y}_t ] $ ? ¿Esta propiedad de independencia condicional se deduce de la independencia de los procesos estocásticos $X$ y $Y$ ?

Answer 1

La respuesta no es trivial y requiere $X,Y$ sean martingalas continuas independientes. Véase http://mech.math.msu.su/~cherny/pmt.pdf donde se expone con todo detalle. Voy a presentar una versión sencilla en la que $X,Y$ están acotados.

Teorema: Si $X,Y$ son continuos acotados $\mathscr{F}_t$ -martingales, entonces $XY$ es un continuo $\mathscr{F}_t$ - martingala.

Prueba: Basta con demostrar que $\langle X,Y\rangle = 0$ . Desde $X,Y$ son continuos, $\langle X,Y \rangle_t$ es el límite en probabilidad de sumas como $ \sum (X_{t_{i+1}}-X_{t_i})(Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i}) $ como el tamaño de la partición $\Delta$ tiende a $0$ . Mostraremos que estas sumas convergen en $L^2$ a $0$ . $$ E\left(\sum (X_{t_{i+1}}-X_{t_i})(Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i})\right)^2 =\sum E(X_{t_{i+1}}-X_{t_i})^2E(Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i})^2 $$ $$ \leq \max_i E(X_{t_i+1}^2-X_{t_i}^2) \cdot \sum E(Y_{t_{i+1}}^2-Y_{t_i}^2) = \max_i E(X_{t_i+1}^2-X_{t_i}^2) E(Y_t^2 - Y_0^2). $$ El término máximo tiende a $0$ como $\Delta\to 0$ desde $EX_t^2$ es continua en $t$ (convergencia monótona/dominante). Así, $\langle X,Y\rangle_t =0$ .

Si se quisiera extender esto a las martingalas locales continuas (mostrando $XY$ es una martingala local), se tomaría entonces una secuencia reductora de tiempos de parada en la que las martingalas locales están acotadas (por tanto, verdaderas martingalas) y aproximadas.

Para extenderlo a las martingalas continuas, hay que detener la martingala en los momentos en que está acotada y aplicar el resultado para las martingalas locales. A continuación, utilice las estimaciones estándar para obtener $L^1$ convergencia y mostrar $XY$ es una martingala.