Significado/justificación para describir las funciones como "ortogonales

Question

Al introducir las series de Fourier, mi profesor dijo que 2 funciones periódicas, $f$ y $g$ , con el período $2L$ son ortogonales si $$\int^{L}_{-L}{f(x)g(x)}\mathrm dx=0$$ Wikipedia está de acuerdo, incluso definiendo la integral anterior como el producto interno de $f$ y $g$ , completamente análogo a la terminología del álgebra lineal. Mi profesor insinuó que hay una razón para que la terminología sea así, pero personalmente me cuesta un poco ver qué tiene que ver la integral anterior con la ortogonalidad tal y como yo la entiendo.

En una nota relacionada, ¿esta conexión (entre las funciones ortogonales y la ortogonalidad en general, suponiendo que la haya) "explica" de algún modo por qué las funciones seno y coseno pueden utilizarse para construir cualquier función continua en una serie de Fourier, mientras que otros conjuntos de funciones no pueden. Actualmente parece que la ortogonalidad juega un papel casi mágico en la derivación de las ecuaciones de los coeficientes, me pregunto si hay algo más profundo ahí.

Gracias.

Answer 1

De hecho, hay una profunda teoría detrás de todo esto. Cuando aprendas más sobre el producto interior/espacios de Hilbert, verás que los espacios tienen una operación determinada sobre ellos llamada producto interior cuyos axiomas/propiedades puedes encontrar en el enlace. Estos espacios son interesantes porque los productos internos nos dan un sentido de "ángulo" o "dirección" (nótese cómo sus propiedades generalizan el producto punto del espacio euclidiano). Además, podemos definir un norma en ese espacio con este producto interno: $ \|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ y entonces esta norma nos da una idea de la "longitud" de un vector en este espacio.

A continuación, definimos un métrica en este espacio con $ d(x,y) = \|x-y\|$ y esta métrica nos da una idea de la distancia entre dos puntos (lo que nos lleva a pensar en la convergencia de las secuencias y otras cuestiones de tipo analítico). Esta métrica también nos permite entonces generalizar conjuntos abiertos que dota de sentido a si algunos puntos están "cerca" o "separados", y estos conjuntos abiertos inducen entonces una topología que nos permite estudiar propiedades topológicas como la continuidad y la conectividad.

Está claro que se trata de una sobrecarga de información nueva, así que se preguntará: ¿qué significa todo esto? Bueno, esencialmente cada uno de estos estadios son abstracciones que son estructuralmente similares al conocido espacio euclidiano. Los espacios de Hilbert son los más parecidos a $\mathbb{R}^n$ - en ellos tenemos todas las ideas anteriores, de ángulo, dirección, magnitud de un vector, distancia entre vectores, vecindades de vectores, y convergencia de toda secuencia de Cauchy. Por eso los espacios de Hilbert son tan interesantes: tenemos mucha intuición sobre cómo deberían comportarse, tienen suficiente estructura para darnos muchos resultados útiles, pero son lo suficientemente generales como para ser sustancialmente diferentes de $\mathbb{R}^n$ .

Un ejemplo de espacio de Hilbert es el Funciones cuadradas-integrables de Lebesgue con el producto interno $\langle f,g \rangle = \int_X f\cdot \bar g\; \mathrm d\mu$ y usted está considerando una de ellas. La integral de tu post corresponde al producto interior de este espacio (recuerda que es la generalización de un producto punto) y al igual que cuando el producto punto de los vectores euclidianos era $0$ los declaramos ortogonales, hacemos lo mismo aquí. Como ha comentado anon, cuando dos funciones son ortogonales son linealmente independientes, lo cual es una propiedad conocida. Si tienes suficientes vectores linealmente independientes elegidos sabiamente para formar una base, deberíamos ser capaces de formar cualquier vector en este espacio como una combinación lineal de los vectores de la base - que es una serie de Fourier.

Answer 2

Un Espacio interior del producto es un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interior. Un producto interno es una forma bilineal definida positiva, $\left<x,y\right>$ es decir, una forma bilineal donde $\left<x,x\right>\ge0$ y $\left<x,x\right>=0$ si y sólo si $x=0$ . La ortogonalidad se define mediante un producto interior, es decir, $x$ y $y$ son ortogonales cuando $\left<x,y\right>=0$ . La longitud de un vector también se define en términos del producto interior: $|x|^2=\left<x,x\right>$ . Mediante un proceso llamado Ortonormalización de Gram-Schmidt se puede convertir cualquier base de un espacio de producto interno de dimensión finita en un Base ortonormal , una base $\{e_i\}_{i=1}^n$ para lo cual $\left<e_i,e_j\right>=0$ cuando $i\not=j$ y $\left<e_i,e_i\right>=1$ .

En un espacio de producto interno, un vector puede escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base $$ v=\sum_{i=1}^na_ie_i\tag{1} $$ Si la base es ortonormal, podemos calcular fácilmente los coeficientes en $(1)$ utilizando el producto interior: $$ \begin{align} \left<v,e_i\right> &=\left<\sum_{j=1}^na_je_j\;,\;e_i\right>\\ &=\sum_{j=1}^na_j\left<e_j\;,\;e_i\right>\\ &=a_i\tag{2} \end{align} $$ También tenemos el Teorema de Pitágoras para las longitudes $$ \begin{align} |v|^2 &=\left<v,v\right>\\ &=\left<\sum_{i=1}^na_ie_i\;,\;\sum_{j=1}^na_je_j\right>\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\left<e_i,e_j\right>\\ &=\sum_{i=1}^na_i^2\tag{3} \end{align} $$ Se pueden definir muchos productos internos en un espacio de producto interno. Para funciones sobre $(-L,L]$ La forma más sencilla es $$ \left<f,g\right>=\int_{-T}^Tf(x)g(x)\;\mathrm{d}x\tag{4} $$ Con respecto a este producto interno, las funciones trigonométricas, $\{\sin(\frac{\pi nx}{L})\}_{n=1}^\infty$ y $\{\cos(\frac{\pi nx}{L})\}_{n=0}^\infty$ o, por el contrario $\{e^{i\pi nx/L}\}_{n=-\infty}^\infty$ son ortonormales.

Answer 3

Consideremos los vectores ${\bf x}=(x_n)$ , ${\bf y}=(y_n)$ en $\mathbb{R}^{N+1}$ definido por

$$x_n = \sqrt{h} \,f(nh), \qquad y_n=\sqrt{h}\, g(nh), \qquad h = \frac{2L}{N}$$

para $n=0,1,\dots,N$ .

El producto interior euclidiano estándar de ${\bf x}$ y ${\bf y}$ viene dada por

$${\bf x\cdot y} = h\sum_{n=1}^N f(nh) g(nh)$$

Pero esta es también la suma de Riemann correspondiente a la integral de $f(x)g(x)$ en el intervalo $[-L,L]$ . En el límite $N\to\infty$ la suma converge (suponiendo buenas propiedades de $f$ y $g$ ) a

$$\int_{-L}^L f(x) f(x) dx$$

que es la expresión dada por tu profesor para el producto interior entre dos funciones.