Ahora mismo estoy aprendiendo el análisis funcional y el teorema de Hahn-Banach, pero por alguna razón no puedo entender la idea de las normas de los funcionales lineales acotados y los espacios duales. Uno de los corolarios del teorema de Hahn-Banach es
Por cada $x_0 \in E$ existe $f_0 \in E^*$ tal que $||f_0|| = ||x_0||$ y $\langle f_0, x_0 \rangle = ||x_0||^2$ .
La prueba de esto según mi libro es por la aplicación de otro corolario del teorema de Hahn-Banach:
Dejemos que $G \subset E$ sea un subespacio lineal. Si $g: G \rightarrow \mathbb{R}$ es una función lineal continua, entonces existe $f \in E^*$ que se extiende $g$ y tal que $$ ||f||_{E^*} = \sup_{x \in G, ||x|| \leq 1} |g(x)| = ||g||_{G^*}. $$
Según el libro, al establecer $G = \mathbb{R} x_0$ y $g(tx_0) = t||x_0||^2$ , supuestamente conseguiremos que $||g||_{G^*} = ||x_0||$ . No entiendo muy bien los detalles de este argumento, aunque creo que entiendo la idea general. Lo que me hace dudar es que parece que si $g(tx_0) = t||x_0||^2$ es un funcional lineal continuo, entonces por el corolario anterior obtendríamos en cambio que existe $f \in E^*$ tal que $$ ||f|| = ||g||_{G^*} = \sup_{x \in G, ||x|| \leq 1} |g(x)| = \sup_{tx_0 \in \mathbb{R} x_0, ||t x_0|| \leq 1} |t ||x_0||^2 | = \sup_{t \in \mathbb{R}, t||x_0|| \leq 1} |t ||x_0||^2| = | ||x_0||^2 | = ||x_0||^2 $$ en lugar de $||f|| = ||x_0||$ . ¿Puede alguien mostrarme lo que me estoy perdiendo aquí?
