¿El número de límites distintos de las sucesiones de una secuencia es finito?

Question

"¿El número de límites distintos de las sucesiones de una secuencia es finito?"

Llevo un tiempo dándole vueltas a esta cuestión, y creo que es cierto, pero no veo cómo podría demostrarlo formalmente. ¿Alguna idea?

Gracias

Answer 1

Enumerar los racionales como $r_1,r_2,r_3,\dots$ . Todo número real es el límite de una sucesión de $(r_n)$ .

Answer 2

No, lo siguiente es un contraejemplo: Sea $E: \mathbb N \to \mathbb N^2$ sea una enumeración de $\mathbb N^2$ , y establecer $a_n = (E(n))_1$ . Entonces $a_n$ contiene una subsecuencia constante $a_{n_i} = k$ por cada $k \in \mathbb N$ .

Answer 3

La respuesta es no. Piensa, por ejemplo, en las sucesiones de $(cos(n))$ Después de demostrar que los enteros son densos en $[0,2\pi]$ se deduce que para todo número real $k$ en $[-1,1]$ existe una subsecuencia $(cos(n_k))_{k \in \mathbb{N}}$ que converge a $k$ . En particular, no sólo el número de límites distintos de las subsecuencias es infinito, sino incontablemente infinito.