Cómo encontrar la integral de la forma $e^xf(x)$ ?

Question

Siempre tengo problemas con este tipo de integrales.

Necesito encontrar $$\int{e^x \frac{x(\cos x -\sin x)-\sin x}{x^2}}dx$$

Mi problema se resolvería si pudiera expresar $f(x)$ como $g(x)+g'(x)$ pero identificando $g(x)$ por el método de prueba y error es a veces tedioso. ¿Hay algún método más fácil?

Answer 1

Como ya se ha dicho en los comentarios, no creo que haya una solución en términos de funciones elementales.

Sin embargo, el problema puede abordarse utilizando $$\cos(x)=\frac{1}{2} \left(e^{i x}+e^{-i x}\right)\qquad \sin(x)=-\frac{1}{2} i \left(e^{i x}-e^{-i x}\right)$$ Así, el numerador del integrando se convierte en $$\left(\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right) e^{(1-i) x} x+\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right) e^{(1+i) x} x-\frac{1}{2} i e^{(1-i) x}+\frac{1}{2} i e^{(1+i) x}$$ y entonces nos quedamos con integrales del tipo $$I=\int \frac{e^{\alpha x}} x \, dx\qquad J=\int \frac{e^{\alpha x}}{x^2} \, dx$$ Cambio de variable $\alpha x=y$ luego hace $$I=\int \frac{e^y}{y}\,dy=\text{Ei}(y)$$ $$J= \alpha\int\frac{ e^y}{y^2}\,dy=\alpha \left(\text{Ei}(y)-\frac{e^y}{y}\right)$$ donde aparece la función integral exponencial (para el cálculo de $J$ se necesita una integración por partes).

Utilizando estos últimos resultados y volviendo a $x$ $$\int{e^x \frac{x(\cos x -\sin x)-\sin x}{x^2}}\, dx=i \Big(\text{Ei}((1+i) x)- \text{Ei}((1-i) x)\Big)+\frac{e^x \sin (x)}{x}$$

Editar

Mirando $$\int e^x\frac{ x (\cos (x)\pm \sin (x))\pm \sin (x)}{x^2}\,dx$$ la única combinación que conduce a funciones elementales es la combinación $(+,-)$ y luego $$\int e^x\frac{ x (\cos (x)+ \sin (x))- \sin (x)}{x^2}\,dx=\frac{ \sin (x)}{x}e^x$$ Así que, una errata más en un libro de texto.

Answer 2

La errata puede estar no en los signos de la fracción sino en el signo del argumento de la función exponencial, es decir, si sustituimos $e^{x}$ por $e^{-x}$ la fracción se queda como está y la respuesta sería $$\frac{ \sin (x)}{x}e^{-x}+C,$$ desde $$\int e^{-x}\frac{ x (\cos (x)- \sin (x))- \sin (x)}{x^2}\,dx=\frac{ \sin (x)}{x}e^{-x}+C $$ que puede obtenerse fácilmente por partes.

Creo que es obvio ver que la fracción no es más que $$f^\prime(x)-f(x)$$ donde $f(x)$ es el producto $f(x)=(\frac{1}{x}) \sin(x).$ Recall $ (\frac{1}{x})^\prime=-\frac{1}{x^2}$ .