La definición que tengo de un producto tensorial de espacios vectoriales de dimensión finita $V,W$ sobre un campo $F$ es la siguiente: Sea $v_1, ..., v_m$ sea una base para $V$ y que $w_1,...,w_n$ sea una base para $W$ . Definimos $V \otimes W$ para ser el conjunto de combinaciones lineales formales de los mn símbolos $v_i \otimes w_j$ . Es decir, un elemento típico de $V \otimes W$ es $$\sum c_{ij}(v_i \otimes w_j).$$ El espacio $V \otimes W$ es claramente un espacio vectorial de dimensión finita de dimensión mn. Definimos el mapa bilineal $$B: V \times W \to V \otimes W$$ esta es la fórmula $$B(\sum a_iv_i, \sum b_jw_j) = \sum_{i,j}a_ib_j(v_i \otimes w_j). $$
¿Por qué $V \otimes W$ tiene que ser un combinaciones lineales formales de símbolos $v_{i} \otimes w_j$ ¿Qué hay de malo en definir $V \otimes W$ simplemente como combinación lineal de símbolos $v_i \otimes w_j$ ?
Gracias.
