Voy a probar esta interesante cuestión para comprobar si mi comprensión del lema de Burnside es correcta, siguiendo el consejo de N.F. Taussig en la sección de comentarios.
Para un cuadrado $4 \times 4$ ventana, hay que considerar cuatro elementos del grupo, es decir, la rotación (en el sentido de las agujas del reloj) en 90, 180 y 270°, así como la identidad.
Sin tener en cuenta las simetrías, hay $2^{16}$ posibles acuerdos.
La identidad tiene $2^{16}$ puntos fijos.
Considerando el caso de rotación de 90°, hay 16 puntos fijos. En efecto, hay que seleccionar el color de una de las casillas de las esquinas, el color de cada una de las casillas del medio que pertenecen, por ejemplo, a la columna más a la izquierda, y el color de las casillas del $2 \times 2$ ventana interior, igualando $2^4$ posibilidades. Lo mismo ocurre con el caso de 270°.
Una forma más ordenada de verlo, como se señala en los comentarios más abajo, es considerar también el hecho de que basta con seleccionar los colores en las celdas de un cuadrante de esquina, por lo que son cuatro celdas, $2^4$ posibilidades.
En cuanto al caso de 180°, para que una configuración sea un punto fijo, las cuatro casillas superiores deben tener los mismos colores, en orden invertido, que las cuatro casillas inferiores. Lo mismo ocurre con las dos casillas del centro de las columnas del extremo derecho y las dos casillas del centro de la columna del extremo izquierdo. Por lo tanto, hay $2^4 \times 2^2$ posibilidades para el collar (se pueden elegir los colores de, por ejemplo, las cuatro celdas superiores y las dos centrales, más a la izquierda). Este número debe multiplicarse por 4, el número de configuraciones invariantes de 180° para el interior $2 \times 2$ ventana. Entonces el Lemma de Burnside permite la conclusión $$ N_{4 \times 4} = \frac{2^{16} + 16 + 16 + 4 \times2^6}{4} =16456$$ configuración distinta hasta la simetría rotacional , ver también el enlace a la entrada relacionada en la Enciclopedia de Secuencias de Sloane, cortesía de Gandalf61 en los comentarios de abajo.
Como comprobación, se puede aplicar el lema a la $2 \times 2$ caso, para el que un recuento por fuerza bruta es manejable:
$$ N_{2 \times 2} = \frac{2^{4} + 2 + 2 + 4 }{4} =6$$ como se esperaba.
