Derivada del invariante del tensor electromagnético $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

Question

El tensor de campo electromagnético es $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ . Estoy tratando de calcular la cantidad $$ \frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}. $$ Este cálculo surge al tratar de derivar las ecuaciones electromagnéticas del movimiento (es decir, las ecuaciones de Maxwell) a partir de la lagrangiana $\mathcal{L}=C F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ . Según la P. 14 de estas notas en línea esta derivada es $$ \frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=2F^{\alpha\beta}\frac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial(\partial_\mu A_{\nu})} .$$

Este resultado me sorprende. Puedo utilizar la regla del producto para encontrar

$$ \frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=F_{\alpha\beta}\frac{\partial(F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}+F^{\alpha\beta}\frac{\partial(F_{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} $$

y está claro que si $F_{\alpha\beta}\frac{\partial(F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=F^{\alpha\beta}\frac{\partial(F_{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}$ entonces se obtiene el resultado deseado. Sin embargo, no veo por qué esto es cierto. En particular, no entiendo cómo tomar la derivada $$\frac{\partial(F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=\frac{\partial(\partial^{\alpha}A^{\beta}-\partial^{\beta}A^{\alpha})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}=\frac{\partial(\partial^{\alpha}A^{\beta})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}-\frac{\partial(\partial^{\beta}A^{\alpha})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} $$ donde la parte de abajo tiene índices inferiores y la parte de arriba tiene índices superiores.

Answer 1

Utiliza una métrica. Escribe F con índices superiores como F con índices inferiores por el tensor métrico apropiado sumado sobre los índices.

$$ F^{ab} = g^{ac}g^{bd}F_{cd} $$

Si estás en el espacio-tiempo plano de Minkowski, entonces g es una matriz diagonal constante y no es necesario diferenciarla. Si estás en un espacio-tiempo curvo entonces se requerirá la parcialidad de g y hay maneras de manejar eso.

Mirando el término que está causando un problema, en el espacio de Minkowski (espacio plano) los factores de g se pueden pasar fuera de la derivada y luego actuar sobre el tensor fuera de la derivada para elevar los índices.

Answer 2

Para su primera pregunta: los componentes de la métrica no dependen de $\partial_\mu A_\nu$ o, para el caso, cualquier cosa. Así que tenemos, por ejemplo $$J^\mu \partial K_\mu = J^\mu \partial (\eta_{\mu\nu} K^\nu) = J^\mu \eta_{\mu\nu} \partial K^\nu = J_\nu \partial K^\nu = J_\mu \partial K^\mu$$ donde $\partial$ significa cualquier tipo de derivado y $J$ y $K$ son arbitrarios. La prueba para su caso es idéntica.

Para tu segunda pregunta: simplemente haz lo mismo. Tenga en cuenta que $$\frac{\partial J^\nu}{\partial J_\mu} = \frac{\partial (\eta^{\rho\nu} J_\rho)}{\partial J_\mu} = \eta^{\rho\nu}\frac{\partial J_\rho}{\partial J_\mu} = \eta^{\rho \nu} \delta^\mu_\rho = \eta^{\mu\nu}$$ donde puede adaptar este razonamiento a su propio ejemplo. Después de hacer esto un par de veces, se convierte en algo completamente natural, y no tendrás que escribir los pasos. Todo funciona exactamente como se espera, simplemente "alineando los índices", $$\frac{\partial J^\nu}{\partial J_\mu} = \eta^{\mu\nu}, \quad \frac{\partial J^\nu}{\partial J^\mu} = \eta^{\nu}_\mu, \quad \frac{\partial J_\nu}{\partial J_\mu} = \eta_\nu^\mu, \quad \frac{\partial J_\nu}{\partial J^\mu} = \eta_{\mu\nu}$$ donde, para escribir los cuatro resultados de la misma manera, he definido $\eta^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu$ .