Varianza del error autocorrelacionado

Question

Estoy siguiendo los apuntes de este curso: https://onlinecourses.science.psu.edu/stat501/lesson/14/14.2

Aquí se dice lo siguiente (a grandes rasgos)

Consideremos la siguiente situación en la que el modelo es

$$y_t = X_t \beta + \epsilon_t$$

y existe autocorrelación entre los errores, es decir

$$\epsilon_t = \rho \epsilon_{t-1} + w_t$$

donde $w_t ~ N(0, \sigma^2)$ y $\left| \rho \right| < 1$

Afirma sin pruebas que

$$Var(\epsilon_t) = \frac{\sigma^2}{1-\rho^2}$$

Pero no sé de dónde viene la variación.

La forma en que estoy pensando,

$$Var(\epsilon_1) = Var(w_1) = \sigma^2$$

$$Var(\epsilon_2) = Var(\rho \epsilon_1 + w_2) = Var(\rho w_1 + w_2) = \rho^2 Var(w_1) + Var(w_2) = \rho^2\sigma^2 + \sigma^2$$

$$Var(\epsilon_3) = Var(\rho \epsilon_2 + w_3) = Var(\rho(\rho \epsilon_1 + w_2) + w_3) =Var(\rho(\rho w_1 + w_2) + w_3) = \rho^4 \sigma^2 + \rho^2 \sigma^2 + \sigma^2 $$

y así sucesivamente.

¿Qué me falta?

Answer 1

La varianza de se puede encontrar como:

\begin{align} &\gamma_0 = var(\rho\epsilon_{t_1} + w_t) \\ & \gamma_0 = \rho^2\gamma_0 + \sigma^2 \\ & \gamma_0(1 - \rho^2) = \sigma^2 \\ & \gamma_0 = \frac{\sigma^2}{(1-\rho^2)} \end{align}

Answer 2

$$\begin{align}\operatorname{var}(\epsilon_t)&=\operatorname{cov}(\epsilon_t,\epsilon_t)=\operatorname{cov}(\rho\epsilon_{t-1}+w_t,\rho\epsilon_{t-1}+w_t)\\&=\operatorname{cov}(\rho\epsilon_{t-1},\rho\epsilon_{t-1})+\overbrace{\operatorname{cov}(\rho\epsilon_{t-1},w_t)}^0+\overbrace{\operatorname{cov}(w_t,\rho\epsilon_{t-1})}^0+\operatorname{cov}(w_t,w_t)\\&=\rho^2\operatorname{var}(\epsilon_{t-1})+\sigma^2\\&=\rho^2\operatorname{var}(\epsilon_{t})+\sigma^2\end{align}$$

lo que significa $$\operatorname{var}(\epsilon_{t})={\sigma^2 \over {1-\rho^2}}$$