Me pregunto si es posible encontrar el valor esperado de x si se distribuye normalmente, dado que está por debajo de un determinado valor (por ejemplo, por debajo del valor medio).
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jldugger
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Una variable con distribución normal $X$ con la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ tiene la misma distribución que $\sigma Z + \mu$ donde $Z$ es una variable normal estándar. Todo lo que necesita saber sobre $Z$ es que
- su función de distribución acumulativa se llama $\Phi$ ,
- tiene una función de densidad de probabilidad $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$ y que
- $\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ .
Los dos primeros puntos son sólo notación y definiciones: la tercera es la única propiedad especial de las distribuciones normales que necesitaremos.
Que el "valor cierto" sea $T$ . Anticipando el cambio de $X$ a $Z$ , defina
$$t = (T-\mu)/\sigma,$$
para que
$$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$$
Entonces, partiendo de la definición de la expectativa condicional podemos explotar su linealidad para obtener
$$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$$
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que cualquier integral de una derivada se encuentra evaluando la función en los puntos extremos: $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ . Esto se aplica a ambas integrales. Dado que ambas $\Phi$ y $\phi$ debe desaparecer en $-\infty$ obtenemos
$$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$$
Es la media original menos un término de corrección proporcional al Relación inversa de Mills .
Como era de esperar, la relación inversa de Mills para $t$ debe ser positivo y superar $-t$ (cuyo gráfico se muestra con una línea roja discontinua). Tiene que reducirse a $0$ como $t$ crece, pues entonces el truncamiento en $Z=t$ (o $X=T$ ) no cambia casi nada. Como $t$ crece muy negativamente, la relación inversa de Mills debe acercarse a $-t$ porque las colas de la distribución normal disminuyen tan rápidamente que casi toda la probabilidad de la cola izquierda se concentra cerca de su lado derecho (en $t$ ).
Por último, cuando $T = \mu$ está en la media, $t=0$ donde la relación inversa de Mills es igual a $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ . Esto implica que el valor esperado de $X$ truncado en su media (que es el negativo de a distribución seminormal ), es $-\sqrt{2/\pi}$ veces su desviación estándar por debajo de la media original.
Christoph Hanck
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En general, dejemos $X$ tienen función de distribución $F(X)$ .
Tenemos, por $x\in[c_1,c_2]$ , \begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*} Puede obtener casos especiales tomando, por ejemplo $c_1=-\infty$ , lo que da como resultado $F(c_1)=0$ .
Utilizando cdfs condicionales, puede obtener densidades condicionales (por ejemplo $f(x|X<0)=2\phi(x)$ para $X\sim N(0,1)$ ), que puede utilizarse para las expectativas condicionales.
En su ejemplo, la integración por partes da $$ E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0), $$ como en la respuesta de @whuber.
