Recuperación de la simetría en osciladores acoplados

Question

Consideremos un par de osciladores LC, uno con capacitancia $C_1$ y la inductancia $L_1$ y el otro con capacidad $C_2$ y la inductancia $L_2$ . Supongamos que están conectados a través de un condensador $C_g$ . Queremos encontrar los modos y frecuencias normales.

Si escribimos las leyes de Kirchhoff, encontramos \begin{align} V_1 + \ddot{V}_1 \left(1 + \epsilon_1 \right)/\omega_1^2 - (\epsilon_1/\omega_1^2)\ddot{V}_2 &= 0 \\ V_2 + \ddot{V}_2 \left(1 + \epsilon_2 \right)/\omega_2^2 - (\epsilon_2/\omega_2^2)\ddot{V}_1 &= 0 \\ \end{align} donde $\epsilon_i \equiv C_g / C_i$ y $\omega_i^2 \equiv 1/L_i C_i$ . Estas ecuaciones pueden escribirse en forma de matriz como $$ \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \tag{$ \N - La estrella $} \, . $$ Ahora bien, si $L_1 = L_2$ y $C_1 = C_2$ entonces $\epsilon_1 = \epsilon_2 \equiv \epsilon$ y $\omega_1 = \omega_2 \equiv \omega_0$ y la ecuación matricial se convierte en $$ \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon)/\omega_0^2 & - \epsilon / \omega_0^2 \\ - \epsilon / \omega_0^2 & (1 + \epsilon)/\omega_0^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \, . $$ En este caso particular, la matriz puede escribirse en la forma bonita $$ \frac{1 + \epsilon}{\omega_0^2} \, \mathbb{I} - \frac{\epsilon}{\omega_0^2} \sigma_x \tag{$ \N - estrella \N - estrella $} $$ y es bastante fácil encontrar los modos normales y las frecuencias normales. $^{[a]}$

Sin embargo, cuando los osciladores no son idénticos, por ejemplo, la Ec. ( $\star$ ), las expresiones para los modos normales y las frecuencias son bastante complicadas. ¿Hay alguna transformación que podamos aplicar a ( $\star$ ) para llevarlo a una forma simple como ( $\star \star$ ) para que el análisis de los modos resulte en ecuaciones más sencillas?

Quizás otra forma de preguntar esto sería pedir una forma sistemática de reescalar las variables para que la matriz de las ecuaciones de movimiento sea simétrica o quizás hermitiana.

[a] Las frecuencias son $\omega_0$ (modo par) y $\omega_0 / \sqrt{1 + 2 \epsilon}$ (Modo impar).

Answer 1

¿Qué tal esto?

Escribiré su matriz general en la forma \begin{align} M=\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \(derecha) \N - Fin. para que su sistema sea $$ V=M \ddot{V} $$

Considere \begin{align} U=\left(\begin{array}{cc} e^{\alpha}&0\\ 0&e^{-\alpha} \end{array} \(derecha) \N - Fin. con $\alpha$ por determinar. La elección de ésta está estrechamente relacionada con una rotación $e^{-i\alpha \hat L_z}$ que serviría si tuvieras una matriz hermitiana y quisieras rotar la $\sigma_y$ componente de distancia.

Tras la conjugación: \begin{align} UMU^{-1}= \left(\begin{array}{cc} a&be^{2\alpha}\\ ce^{-2\alpha}&d \end{array} \(derecha) \N - Fin. y elija $\alpha$ para que $$ be^{2\alpha}=ce^{-2\alpha}=b’ $$ para traer su original $M$ a la forma \begin{align} UMU^{-1}= \left(\begin{array}{cc} a&b’\\ b’&d \end{array} \(derecha) \N - Fin. que es de la forma \begin{align} \frac{1}{2}(a+d)\mathbb{I}+\frac{1}{2}(a-d)\sigma_z+b’\sigma_x \end{align} Una nueva rotación unitaria en torno a $y$ generado por $e^{-i\beta\sigma_y}$ puede deshacerse del $\sigma_x$ o el $\sigma_z$ plazo.

Tenga en cuenta que mi $U$ no es una transformación unitaria: su $M$ tampoco es hermético, así que algo tiene que ceder. $U$ es un reescalado de los vectores base originales, estirando uno y comprimiendo el otro. El vector base transformado sigue siendo ortogonal pero ya no tiene longitud 1. El vector base transformado $M$ es hermitiana, como se pide.

Este tipo de "diagonalización" del operador no hermitiano mediante una transformación no unitaria se explora en

Rashid MA. Los estados inteligentes. I. Estudio teórico de grupo y el cálculo de los elementos de la matriz. Journal of Mathematical Physics. 1978 Jun;19(6):1391-6.

Los estados inteligentes son estados que saturan las relaciones de incertidumbre; son estados propios de un operador no hermitiano.

Answer 2

Queremos encontrar una base en la que

$$ \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = \underbrace{\left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right)}_{:= M} \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \, $$

es diagonal. Esto sólo puede hacerse si los valores propios de $M$ son distintos.

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Esquema : Queremos diagonalizar $M$ pero primero tenemos que averiguar si esto es posible. Es posible si $M$ tiene valores propios distintos. Utilizando el hecho de que

$$ tr(M) = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1+\epsilon_1}{\omega_1^2}+ \frac{1+\epsilon_2}{\omega_2^2} $$

$$\det(M) = \lambda_1\lambda_2 = \frac{(1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)}{\omega_1^2\omega_2^2}{} + \frac{\epsilon_1\epsilon_2}{\omega_1^2\omega_2^2}$$

que nos da los valores propios

$$ \{\lambda_1, \lambda_2\}= \\ \left\{\frac{-\sqrt{(-\epsilon_2 \omega_1 -\epsilon_1 \omega_2-\omega_2-\omega_1 )^2-4 (\epsilon_2 \omega_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2 \omega_1 +\omega_2 \omega_1 )}+\epsilon_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2+\omega_2+\omega_1 }{2 \omega_2 \omega_1 },\\ \frac{\sqrt{(-\epsilon_2 \omega_1 -\epsilon_1 \omega_2-\omega_2-\omega_1 )^2-4 (\epsilon_2 \omega_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2 \omega_1 +\omega_2 \omega_1 )}+\epsilon_2 \omega_1 +\epsilon_1 \omega_2+\omega_2+\omega_1 }{2 \omega_2 \omega_1 }\right\} $$

que en general son distintos. Así que la cuestión es que podemos encontrar una matriz de transformación adecuada $S$ tal que $M$ es diagonal (las columnas de $S$ son los vectores propios de $M$ ).

Ahora etiquete los estados en la nueva base con primos. Luego pasamos a la nueva base $$ S \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array} \right) = S\left( \begin{array}{cc} (1 + \epsilon_1)/\omega_1^2 & - \epsilon_1 / \omega_1^2 \\ - \epsilon_2 / \omega_2^2 & (1 + \epsilon_2)/\omega_2^2 \\ \end{array} \right)S^{-1}S \left( \begin{array}{c} \ddot{V}_1 \\ \ddot{V}_2 \end{array} \right) \, $$

se convierte en

$$ \left( \begin{array}{c} V'_1 \\ V'_2 \end{array} \right) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} \ddot{V'}_1 \\ \ddot{V'}_2 \end{array} \right) $$

y así nuestras ecuaciones se desacoplan en esta base.

Answer 3

¿Hay alguna transformación que podamos aplicar a $(*)$ para llevarlo a una forma simple como $(**)$ para que el análisis del modo resulte en ecuaciones más sencillas?

En realidad lo hay, pero no es un simple reescalado. Tal vez la forma más fácil de ver lo que hay que hacer es proceder en dos pasos. Primero, una sustitución $V_2=k\,V_2'$ deja inalterados los elementos diagonales pero hace que los términos no diagonales sean iguales entre sí para algunos $k$ .

Ahora la matriz es una combinación lineal de $\Bbb I$ , $\sigma_1$ , $\sigma_3$ y no debería ser difícil encontrar valores propios y vectores propios,

Espero que esto también responda a su pregunta.