Dejemos que $\mathfrak F$ sea el conjunto de mapeos inyectivos $f:\Bbb N\to\Bbb N$ . Entonces $|\mathfrak F|=2^{\aleph_0}$ .
Esta es una prueba alternativa a la de mi libro de texto. ¿Se ve bien o contiene defectos? Gracias por su ayuda.
Mi intento:
Lema 1: Dejemos que $\mathfrak A$ sea el conjunto de subconjuntos finitos de $\Bbb N$ . Entonces $|\mathfrak A|=\aleph_0$ .
Prueba
Está claro que $\mathfrak A$ no puede ser finito y por lo tanto $|\mathfrak A|\ge \aleph_0$ .
Está claro que todo subconjunto finito no vacío de $\Bbb N$ tiene un elemento mayor.
Dejemos que $\mathfrak A_n$ sea el conjunto de subconjuntos de $\Bbb N$ donde el mayor elemento de cada uno de estos subconjuntos es $n$ . Entonces $\mathfrak A_n$ es finito y, por tanto, contable para todo $n\in\Bbb N$ .
Como resultado, $\mathfrak A=\{\emptyset\}\cup \bigcup_{n\in\Bbb N} \mathfrak A_n$ es contable. Así, $|\mathfrak A|\le\aleph_0$ .
Por lo tanto, $|\mathfrak A|=\aleph_0$ . $\quad \blacksquare$
Lema 2: Dejemos que $\mathfrak B$ sea el conjunto de subconjuntos infinitos de $\Bbb N$ . Entonces $|\mathfrak B|=2^{\aleph_0}$ .
Prueba
Dejemos que $\mathfrak A$ sea el conjunto de subconjuntos finitos de $\Bbb N$ . Entonces $|\mathfrak A|=\aleph_0$ por Lema 1
Tenemos $\mathfrak A \bigcup \mathfrak B=\mathcal{P}(\Bbb N)$ , $\mathfrak A \bigcap \mathfrak B=\emptyset$ , $\mathcal{P}(\Bbb N)=2^{\aleph_0}$ y $|\mathfrak A|=\aleph_0<2^{\aleph_0}$ . Entonces $|\mathfrak B|=2^{\aleph_0}$ . $\quad \blacksquare$
Procedemos a demostrar nuestro teorema principal.
Primero, $|\mathfrak F|\le |{\Bbb N}^{\Bbb N}|={\aleph_0}^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ .
En segundo lugar, podemos asignar a cada subconjunto infinito de $\Bbb N$ a un mapeo inyectivo único $f:\Bbb N\to\Bbb N$ . Así, $2^{\aleph_0}=|\mathfrak B|\le |\mathfrak F|$ . Observe que $|\mathfrak B|=2^{\aleph_0}$ por Lema 2 .
Por lo tanto, $2^{\aleph_0}\le |\mathfrak F| \le 2^{\aleph_0}$ y por lo tanto $|\mathfrak F|=2^{\aleph_0}$ . $\quad \blacksquare$
