Conjuntos compactos en la topología inferior en $\mathbb{R}$ tienen un mínimo

Question

Dejemos que $S$ sea un subconjunto de $\mathbb{R}$ sea no vacía. Demostrar que en la topología inferior, $S$ es compacto si $S$ tiene un mínimo.

Obsérvese que la topología inferior es no la topología del límite inferior.

Intenté demostrar que si $S$ es compacto, entonces $S$ tiene el mínimo, pero no llegué a nada.

Mi intento:

$S$ es compacto por lo que para todas las cubiertas abiertas de $S$ existe una subcubierta finita de $S$ . Considere la cubierta abierta $C=\{{]}a,+\infty{[}: a \in \mathbb{R} \}$ de $S$ . Así que hay $a_1,\ldots, a_p$ tal que $S \subseteq \bigcup_{i=1}^p {]}a_i,+\infty{[}$ que es igual a ${]}{\min} (a_1,\ldots,a_p),+\infty{[}$ .

Pero esto no me dice que $S$ tiene un mínimo. Sólo dice que hay un minorante.

¿Alguien puede ayudar? ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Su prueba de que $S$ está acotado por debajo se puede modificar para mostrar que tiene un mínimo.

Supongamos que su conjunto compacto no vacío $S$ no tiene un mínimo. Considere la familia $\mathcal{U} = \{ ( x , + \infty ) : x \in S \}$ de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ con respecto a la topología inferior.

Se puede demostrar que $\mathcal{U}$ cubre $S$ .

• Para $y \in S$ ya que $y$ es no el elemento mínimo de $S$ (como $S$ no tiene un mínimo) hay un $x \in S$ con $x < y$ . Pero entonces $y \in ( x , + \infty ) \subseteq \bigcup \mathcal{U}$ .

Desde $S$ es compacto hay $x_1 > \cdots > x_n$ en $S$ tal que $$S \subseteq ( x_1 , + \infty ) \cup \cdots \cup ( x_n , + \infty ).$$ Desde $x_1 > \cdots > x_n$ tenemos que $\bigcup_{i=1}^n ( x_i , + \infty ) = ( x_n , + \infty )$ . Pero entonces $x_n \notin ( x_n , + \infty ) \supseteq S$ lo que contradice el hecho de que $x_n \in S$ ¡!

Por lo tanto, la suposición de que $S$ no tiene un mínimo no puede ser cierto.

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Para demostrar que todo subconjunto $S$ de $\mathbb{R}$ con un mínimo es compacto, nótese que si $\alpha = \min(S)$ entonces $S \subseteq U$ para todo conjunto abierto $U$ que contiene $\alpha$ y todas las portadas abiertas de $S$ debe contener un conjunto que contenga $\alpha$ .