Estoy revisando material antiguo sobre ecuaciones diferenciales de primer orden y me he dado cuenta de que no entiendo muy bien cómo se encuentran los límites de la integral. He encontrado este pregunta de hace un par de años que da una respuesta pero no entra en muchos detalles. Actualmente sólo estoy pensando en diff eq's lineales de primer orden de la forma: $$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$$
Encontrar el factor de integración es bastante sencillo: $$\mu(x)=e^{\int{P(x)dx}}$$ Que se multiplica a ambos lados: $$\mu(x)\left[\frac{dy}{dx}+P(x)y\right]=\mu(x)f(x)$$ Y esto se simplifica a: $$\frac{d}{dx}(\mu(x)y)=\mu(x)f(x)$$ Y aquí es donde empiezan los problemas. Esta ecuación debe integrarse en ambos lados sobre los mismos límites para mantener la igualdad: $$\int_a^b{\frac{d}{dx}(\mu(x)y)dx}=\int_a^b{\mu(x)f(x)dx}$$ La RHS es sólo una integral definida directa. El lado izquierdo, sin embargo, es un poco más complicado. La pregunta que he enlazado más arriba tiene un par de respuestas que sugieren una integración por sustitución, así que haciendo algo como $u=\mu(x)y$ y supongo que convertir la integral en $\int_{u(a)}^{u(b)}{u}du$ pero no estoy seguro de que eso sea correcto.
Esta pregunta fue inspirada en parte por un problema práctico que estoy tratando de resolver que involucra un integrador de op-amp y siguiendo la ruta de sustitución de la u conduce a algunas cosas que no tienen sentido como el valor inicial de la salida que crece hasta el infinito que no debería suceder ya que estoy modelando un circuito que ya se hizo y sé que funciona como se pretende en la vida real.
El LHS en mi modelo se ve así: $$\int_0^T{\frac{d}{dt}\left[e^{-\frac{t}{R_2C}}V_{out}(t)\right]dt}$$ Y aplicando $$u=e^{-\frac{t}{R_2C}}V_{out}(t)$$ y los límites:
$$a=u(0)=V_{out}(0)\quad\text{and}\quad b=u(t)=e^{-\frac{t}{R_2C}}V_{out}(t)$$ da: $$\int_{u(0)}^{u(t)}{du}=u(t)-u(0)=e^{-\frac{t}{R_2C}}V_{out}(t) - V_{out}(0)$$ Esto es problemático porque cuando $V_{out}(0)$ se suma al lado derecho y el término exponencial se multiplica a través de él, entonces tendrá un exponente positivo y hará crecer esta condición inicial hasta el infinito.
No creo que me haya equivocado hasta este punto, pero independientemente de si mi derivación en este problema en particular es correcta o no, la cuestión sigue siendo cuál es la forma adecuada de tratar los límites de las integrales de este tipo, tanto determinar cuáles son los límites adecuados como la forma de evaluarlos. Se agradece cualquier ayuda al respecto.
Edito: Me he dado cuenta de que he cometido un error y he perdido un signo negativo antes causando ese comportamiento extraño. Corregido el modelo ahora tiene un valor inicial decadente que está en línea con lo que he visto del circuito real. He dejado esto sin embargo porque todavía estoy interesado en saber si hay una manera más formal de hacer esta integración ya que soy consciente de que muchos de los métodos que se enseñan en las ecuaciones diferenciales juegan rápido y suelto. Si hay algún matiz que se me haya escapado en este post o alguna corrección a algo de lo que he dicho, me gustaría escucharlo. Gracias.
