Demostración de la transitividad

Question

Consideremos una relación definida por $Z$ donde $(a,b) = 2a^2 + b^2 -3ab = 0$

¿Es la relación $R_1$ ¿Reflexivo? ¿Simétrico? ¿Transitivo? ¿Es una relación de equivalencia?

He dicho que es reflexivo como $$2(a)^2 + a^2 - 3(a)(a) = 0$$ $$3a^2 - 3a^2 = 0$$ $$0= 0$$

Dije que no era simétrico y lo demostré mediante un ejemplo donde el elemento es (2,1)

$$2(2)^2 +(1)^2 -3(2)(1) 2(1)^2 + (2)^2 - 3(1)(2)$$ $$8+1-6 2+ 4 -6$$ $$30$$

Realmente no sé cómo demostrar la transitividad. Entiendo que si (a,b) $R_1$ y (b,c) $R_1$ entonces (a,c) $R_1$ .

Además, entiendo que esta relación no puede ser una relación de equivalencia ya que no es reflexiva $and$ simétrico $and$ transitivo.

Answer 1

La relación de interés no es transitiva, porque $R_1(1,2)$ y $R_1(2,4)$ son ciertas, pero $R_1(1,4)$ es falso.

Por cierto, una buena especificación de $R_1$ sería explícito sobre los valores que pueden tomar los argumentos. Por ejemplo, se podría utilizar la notación set-builder:

$$R_1 = \{(a,b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid 2a^2+b^2−3ab=0\}$$

Además, si te preguntas cómo abordar estos problemas en el futuro, intenta utilizar un programa informático para encontrar contraejemplos de valores enteros. Mi método consistía básicamente en poner la fórmula en una hoja de cálculo y jugar con los números durante 30 segundos. Y viola, salió un contraejemplo.