¿Cuál es el enunciado exacto de "hay 27 líneas en una cúbica"?

Question

Creo que había un teorema, como

• toda hipersuperficie cúbica en $\mathbb P^3$ tiene 27 líneas.

¿Cuál es la declaración exacta y los detalles?

Answer 1

La afirmación exacta es que toda superficie cúbica lisa en $\mathbb P^3$ (sobre un campo algebraicamente cerrado) tiene exactamente $27$ líneas en él. Muchos libros de geometría algebraica incluyen una prueba de este famoso hecho. La prueba que aprendí por primera vez proviene del capítulo V de Hartshorne, donde las superficies cúbicas surgen como la explosión de $\mathbb P^2$ en $6$ puntos, y donde la fórmula $27=6+15+6$ se explica.

Answer 2

Hay una forma completamente elemental (es decir, no se necesita teoría de superficies ni clases de Chern) de realizar este cálculo. Os doy un breve esquema omitiendo los detalles. Primero se utiliza una correspondencia de incidencia para demostrar que toda cúbica (lisa o no) contiene al menos una línea.

Una vez que tenga una línea l considere aviones $H$ que contiene $l$ . La intersección de $H$ con la cúbica es ( $l$ + una cónica suave) o tres líneas. Además en el segundo caso las tres líneas son distintas y no se juntan en un punto, de lo contrario la cúbica no sería lisa allí.

Los planos que contienen $l$ formar un $\mathbb{P}^1$ y un simple cálculo te dice cuando la cónica residual en el plano es suave. A saber, la desaparición del determinante de la cónica residual es una ecuación de grado 5. Esta ecuación tiene raíces distintas, de nuevo porque la cúbica es suave.

Concluimos que para una línea determinada $l$ hay exactamente $5$ aviones a través de $l$ en la que la cúbica se descompone como la unión de tres líneas. Dicho de otro modo, cada línea se encuentra exactamente $10$ otras líneas.

A partir de la última afirmación es un ejercicio combinatorio demostrar que el número total de líneas es $27$ .

Espero que el esquema sea lo suficientemente claro; no dudes en pedir más detalles si algún paso es demasiado oscuro.

Answer 3

Recomiendo Respuesta de Jack Huizenga a la pregunta "¿Por qué hay exactamente 27 líneas rectas en una superficie cúbica lisa?" en Quora. Está detallado y bien escrito.

Answer 4

Es una buena aplicación de la teoría de la dimensión para demostrar que el conjunto de superficies cúbicas que contienen exactamente 27 líneas corresponde a un subconjunto abierto del espacio proyectivo de 19; las superficies restantes contienen un número infinito de líneas o un número finito no nulo inferior a 27. La prueba se puede encontrar en varios lugares, incluyendo el libro de Shafarevich y mis notas de geometría algebraica en línea.

Answer 5

Para ver las 27 líneas, toma 6 puntos genéricos en P(2) y considera la línea sistema lineal de cúbicos que los atraviesa. Este sistema lineal define un mapa racional de P^2 a P^3 que no es más que la ampliación de P^2 en estos 6 puntos.

La imagen es una superficie cúbica y las líneas son:

• 6 divisores excepcionales;
• 15 líneas que conectan dos de los seis puntos;
• 6 cónicas a través de cinco de los seis puntos.