Demostrar si $|A|\ge 4 \vee |A|\le 2$ entonces $|A+A|\neq 4$ con directa, contradicción y contraposición

Question

Demuestre si $|A|\ge 4 \vee |A|\le 2$ entonces $|A+A|\neq 4$ . $A$ es un conjunto y definimos $A+B=\{a+b|a\in A, b\in B\}$ , $A$ es un subconjunto de los reales.

En una prueba directa y por contradicción tendría que comprobar cada caso para $|A|=0,1,2,4$ ¿verdad?

En una posición de prueba por contra tendría que demostrar que si $|A+A|=4$ entonces $|A|=3$ pero me encuentro con una contradicción, supongamos que $A+A=\{a,b,c,d\}$ entonces

$a=m+m\\b=n+n\\c=l+l\\d=m+n$

Pero aún quedan dos elementos: $n+l,m+l$ . ¿Cómo puede ser que una prueba directa funcione pero una posición contraria resulte en una contradicción?

Answer 1

Las reglas del juego no están claras.

Tienes que decirnos el grupo subyacente (abeliano) del que $A$ es un subconjunto. Por ejemplo, si $A={\mathbb Z}_2\oplus{\mathbb Z}_2$ es el cuatro grupo entonces $|A|=4$ y $|A+A|=|A|=4$ .

Answer 2

Creo que es más fácil demostrar esto directamente. Si |A| = 1, está claro que |A + A| no es 4. Si |A| = 2, entonces A + A puede tener a lo sumo 3 elementos. Si |A| = n > 4, entonces que los elementos de A sean:

a1, a2, ...., an

Sabemos que a1, ..., a5 son distintos. Por lo tanto, 2a1, 2a2, ..., 2a5 son distintos, pero estos son de la forma ai + ai con ai en A; por lo tanto, A + A tiene al menos 5 elementos.

Queda por tratar el caso |A| = 4. Para ello, dejemos que A = {a1, a2, a3, a4}. Es fácil ver que |A + A| >= 4 porque 2ai son distintos, para todo i. Ahora bien, si |A + A| = 4, entonces debe ser así:

A + A = {2a1, 2a2, 2a3, 2a4}.

Ahora, resuelve una contradicción forzando la existencia de un elemento adicional ak + at para algún k y t entre 1 y 4.