pregunta sobre la función cosh

Question

Me cuesta encontrar la siguiente suma: $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^n}{(2n)!}$$

Sé que tiene algo que ver con el coseno ya que también tiene $(2n)!$ en el denominador y también podría estar relacionado con $e^x$ ya que los términos son muy similares.
He intentado jugar con manipulaciones algebraicas pero de nuevo no me ha servido de nada. Cualquier ayuda para comenzar sería apreciada

Answer 1

$$\cosh(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ Por lo tanto, $$\sum_{k=0}^\infty \frac{5^k}{(2k)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{\sqrt5^{2k}}{(2k)!} = \cosh(\sqrt5) = \frac{e^\sqrt5+e^{-\sqrt5}}{2}$$

EDITAR- Que $$f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ $$g(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ Entonces $f$ está en paz, $g$ es impar, y $f(x)+g(x)=e^x$ . Tenga en cuenta que $f$ y $g$ se definen en todos los $\mathbb{R}$ . Entonces $$e^x+e^{-x} = (f(x)+g(x))+(f(x)-g(x)) = 2f(x)$$ Por lo tanto, $$f(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Como $e^y=\sum_{r=0}^\infty\dfrac{y^r}{r!}$

$$e^{-y}+e^y=?$$

¿Puedes reconocer $y$ ¿Aquí?

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty}{5^{n} \over \pars{2n}!} & = \sum_{n = 0}^{\infty}{\pars{\root{5}}^{2n} \over \pars{2n}!} = \sum_{n = 0}^{\infty}{\pars{\root{5}}^{n} \over n!}\,{1 + \pars{-1}^{n} \over 2} \\[5mm] & = {\sum_{n = 0}^{\infty}\pars{\root{5}}^{n}/n! + \sum_{n = 0}^{\infty}\pars{-\root{5}}^{n}/n!\over 2} = {\expo{\root{5}} + \expo{-\root{5}} \over 2} = \bbx{\cosh\pars{\root{5}}} \end{align}